Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 7870-2:2010 (ISO 80000-2:2009) về Đại lượng và đơn vị - Phần 2: Dấu và ký hiệu toán học dùng trong khoa học tự nhiên và công nghệ

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-4.1

(11-3.1)

p Ù q

hội của p và q,
p và q

2-4.2

(11-3.2)

p Ú q

tuyển của p và q,
p hoặc q

Từ “hoặc” là không bao gồm, nghĩa là p Ú q là đúng, nếu hoặc p hoặc q, hoặc cả hai là đúng.

2-4.3

(11-3.3)

 p

phủ định của p, không p

2-4.4

(11-3.4)

p Þ q

p kéo theo q, nếu p thì q

q Ü p có cùng nghĩa như p Þ q.

Þ là dấu kéo theo.

2-4.5

(11-3.5)

p Û q

p tương đương với q

(p Þ q) Ù (q Þ p) có cùng nghĩa như p Û q.

Û là dấu tương đương.

2-4.6

(11-3.6)

" x Î A p(x)

với mỗi x thuộc A, mệnh đề p(x) là đúng

Trong trường hợp rõ ràng tập đang xét là tập A thì có thể dùng ký hiệu "x p(x).

" là lượng từ toàn thể. Đối với x Î A, xem 2-5.1.

2-4.7

(11-3.7)

$ x Î /1 p(x)

tồn tại một x thuộc A để p(x) là đúng

Trong trường hợp rõ ràng tập đang xét là tập A thì có thể dùng ký hiệu $ x p(x).

$ là lượng từ bộ phận (tồn tại). Đối với x Î A, xem 2-5.1.

$¹x p(x) được dùng để chỉ ra rằng chỉ có đúng một phần tử để p(x) là đúng.

$! cũng được dùng cho $¹.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-5.1

(11-4.1)

x Î A

x thuộc A,

x là một phần tử của tập A

A ∍ x có cùng nghĩa như x Î A.

2-5.2

(11-4.2)

Y Ï A

y không thuộc A,

y không phải là một phần tử của tập A

A  có cùng nghĩa như y Ï A. Gạch phủ định có thể là gạch thẳng.

2-5.3

(11-4.5)

{x₁, x₂, … , x_n}

tập các phần tử x₁, x₂, … , x_n

Cũng dùng ký hiệu {x_i | i Î I}, trong đó / là tập các chỉ số.

2-5.4

(11-4.6)

{x Î A | p(x)}

tập các phần tử thuộc A mà ứng với nó mệnh đề p(x) là đúng

VÍ DỤ: {x Î R | x ≤ 5}

Trong trường hợp rõ ràng tập đang xét là tập A thì có thể dùng ký hiệu {x | p(x)} (ví dụ {x |x ≤ 5}, nếu x rõ ràng là biến của các số thực).

2-5.5

(11-4.7)

card A

|A|

số phần tử trong A, lực lượng của A

Lực lượng có thể là số siêu hạn. Xem thêm 2-9.16.

2-5.6

(11-4.8)

Æ

tập rỗng

2-5.7

(11-4.18)

B Í A

B chứa trong A,

B là một tập con của A

Mọi phần tử của B đều thuộc A. Ì cũng được dùng nhưng xem thêm chú thích cho 2-5.8.

A Ê B có cùng nghĩa như B Í A.

2-5.8

(11-4.19)

B Ì A

B chứa thực sự trong A,

B là tập con thực sự của A

Mọi phần tử của B đều thuộc A, nhưng ít nhất một phần tử của A không thuộc B.

Nếu Ì được dùng cho 2-5.7, thì ⊊ phải được dùng cho 2-5.8.

A É B có cùng nghĩa như B Ì A.

2-5.9

(11-4.24)

A È B

hợp của A và B

Tập các phần tử thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả A và B.

A È B= {x | x Î A Ú x Î B}

2-5.10

(11-4.26)

A Ç B

giao của A và B

Tập các phần tử thuộc cả A và B.

A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}

2-5.11

(11-4.25)

A₁ È A₂ È …È A_n

hợp của các tập A₁, A₂, ..., A_n

Tập các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập A₁, A₂, ..., A_n

, và cũng được sử dụng trong đó I là tập các chỉ số

2-5.12

(11-4.27)

A₁ Ç A₂ Ç …Ç A_n

giao của một nhóm các tập A₁, …, A_n

Tập hợp các phần tử thuộc tất cả các tập A₁, A₂, ..., A_n

và cũng được sử dụng, trong đó I là tập các chỉ số.

2-5.13

(11-4.28)

A \ B

hiệu giữa A và B, A trừ B

Tập các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

A \ B= { x | x Î A Ù x Ï B }

Không dùng ký hiệu A - B.

Cũng sử dụng . chủ yếu được dùng khi B là tập con của A, và có thể bỏ ký hiệu A trong trường hợp rõ ràng tập đang xét là tập A.

2-5.14

(11-4.30)

(a, b)

cặp có thứ tự a, b,

cặp a, b

(a, b)= (c, d) khi và chỉ khi

a = c và

b = d.

Nếu dấu phẩy có thể hiểu nhầm là dấu thập phân thì có thể sử dụng dấu chấm phẩy (;) hoặc dấu gạch (|)làm dấu phân cách.

2-5.15

(11-4.31)

(a₁,a₂,…,a_n)

bộ n phần tử có thứ tự

Xem chú thích cho 2-5.14.

2-5.16

(11-4.32)

A x B

tích đêcac của A và B

Tập các cặp có thứ tự (a, b) sao cho A Î A và B Î B.

A x B= {(x,y)}x Î A Ù y Î B}

2-5.17

(-)

A₁ x A₂ x …x A_n

tích đêcac của các tập A₁, A_2…. A_n

Tập các bộ n phần tử có thứ tự (x₁,x₂,…,x_n) sao cho x₁ Î A₁, x₂ Î A_2, … x_n Î A_n

A x A x... x A được biểu thị bằng Aⁿ trong đó n số các thừa số trong tích.

2-5.18

(11-4.33)

id_A

quan hệ đồng nhất trên A, đường chéo của A x A

id_A là tập của tất cả các cặp (x, x)

trong đó x Î A. Trong trường hợp rõ ràng là tập A thì có thế bỏ chỉ số A.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-6.1 (11.4.9)

N

tập các số tự nhiên,

tập các số nguyên dương và số không

N= {0.1,2, 3,...}

N*= {1, 2, 3,...}

Các giới hạn khác có thể được thể hiện một cách rõ ràng như trình bày dưới đây.

N_>5= {n Î N I n > 5}

Các ký hiệu N và ℕ cũng được sử dụng.

2-6.2 (11.4.10)

Z

tập các số nguyên

Z= {…,-2, -1,0, 1.2,...}

Z*= {n Î Z I n ¹ 0}

Các giới hạn khác có thể được thể hiện một cách rõ ràng như trình bày dưới đây.

Z_³-3= {n Î Z | n ³ -3}

Ký hiệu ℤ cũng được sử dụng.

2-6.3

(11.4.11)

Q

tập các số hữu tỷ

Q*= {r Î Q | r ¹ 0}

Các giới hạn khác có thể được thể hiện một cách rõ ràng như trình bày dưới đây.

Q_<0= { r Î Q | r < 0}

Các ký hiệu Q và ℚ cũng được sử dụng.

2-6.4 (11.4.12)

R

tập các số thực

R*= {x Î R | x ¹ 0}

Các giới hạn khác có thể được thể hiện một cách rõ ràng như trình bày dưới đây.

R_³0= {x Î R | x ³ 0}

Các ký hiệu R và ℝ cũng được sử dụng.

2-6.5 (11.4.13)

C

tập các số phức

C*= {z Î C | z ¹ 0}

Các ký hiệu C và ℂ cũng được sử dụng.

2-6.6

(-)

P

tập các số nguyên tố

P= {2, 3, 5, 7,11, 13, 17,...}

Các ký hiệu P và ℙ cũng được sử dụng.

2-6.7 (11.4.14)

[a, b]

khoảng đóng từ a đến b (bao gồm cả a và b)

[a, b]= {x Î R | a ≤ x ≤ b}

2-6.8 (11.4.15)

(a, b]

khoảng nửa mở bên trái từ a đến b (không bao a nhưng có bao b)

(a, b]= { x Î R | a < x ≤ b}

Ký hiệu ]a,b] cũng được sử dụng.

2-6.9 (11.4.16)

[a, b)

khoảng nửa mở bên phải từ a đến b (bao a nhưng không bao b)

[a, b)= {x Î R | a ≤ x < b}

Ký hiệu [a, b[ cũng được sử dụng.

2-6.10 (11.4.17)

(a, b)

khoảng mở từ a đến b (không bao gồm cả a và b)

(a, b)= {x Î R | a < x < b}

Ký hiệu ]a, b[ cũng được sử dụng.

2-6.11

(-)

(-¥, b]

khoảng đóng không giới hạn đến và bao gồm cả b

(-¥, b]= { x Î R | x ≤ b)

Ký hiệu ]-¥, b] cũng được sử dụng.

2-6.12

(-)

(-¥, b)

khoảng mở không giới hạn đến và không bao gồm b

(-¥, b)= { x Î R | x < b}

Ký hiệu ]-¥, b[ cũng được sử dụng.

2-6.13

(-)

[a,+ ¥)

Khoảng đóng không giới hạn từ a và bao gồm cả a

[a,+ ¥)= (x Î R | a ≤ x}

Ký hiệu [a, ¥[, [a, +¥[ và [a, ¥) cũng được sử dụng.

2-6.14

(-)

(a,+ ¥)

khoảng mở không giới hạn từ a nhưng không bao gồm a

(a,+ ¥)= { x Î R | a < x}

Ký hiệu ]a, +¥,[, ],a ¥[ và (a, ¥) cũng được sử dụng.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-7.1

(11-5.1)

a = b

a bằng b

Có thể dùng dấu= để nhấn mạnh rằng đẳng thức cụ thể là đồng nhất thức.

Xem thêm 2-7.18.

2-7.2

(11-5.2)

a ¹ b

a khác b

Gạch phủ định cũng có thể là gạch thẳng.

2-7.3 (11-5.3)

A ≔ b

a theo định nghĩa bằng b

VÍ DỤ:

p := mv, trong đó p động lượng, m là khối lượng và v là vận tốc.

Ký hiệu= _def và  cũng được sử dụng.

2-7.4

(11-5.4)

a ≙ b

a tương ứng với b

VÍ DỤ:

Khi E = kT, thì 1 eV ≙ 11 604,5 K Khi 1 cm trên bản đồ tương ứng với độ dài 10 km, thì có thể viết 1 cm ≙10 km. Tương ứng không phải là đối xứng.

2-7.5 (11-5.5)

a » b

a xấp xỉ bằng b

Xấp xỉ có đủ tin cậy hay không là tùy thuộc vào người sử dụng. “Bằng” không bao gồm trong phép xấp xỉ.

2-7.6

(11-7.7)

a  b

a tiệm cận với b

VÍ DỤ:

(Về x ® a, xem 2-7.16)

2-7.7 (11-5.6)

a ~ b

a tỷ lệ với b

Dấu ~ cũng được dùng đối với quan hệ tương đương.

Ký hiệu a ∝ b cũng được sử dụng.

2-7.8

(-)

M  N

M đồng dạng với N

M đẳng cấu với N

M là N các tập điểm (số liệu hình học).

Dấu này cũng được dùng cho phép đẳng cấu của cấu trúc toán học.

2-7.9

(11-5.7)

a < b

a nhỏ hơn b

2-7.10

(11-5.8)

B > a

b lớn hơn a

2-7.11 (11-5.9)

a ≤ b

a nhỏ hơn hoặc bằng b

2-7.12 (11-5.10)

b ³ a

b lớn hơn hoặc bằng a

2-7.13 (11-5.11)

a ≪ b

a rất nhỏ so với b

a có đủ nhỏ so với b hay không là tùy thuộc vào người sử dụng.

2-7.14 (11-5.12)

b ≫ a

b rất lớn so với a

b có đủ lớn so với a hay không là tùy thuộc vào người sử dụng.

2-7.15

(11-5.13)

¥

vô hạn

Ký hiệu này không thể hiện một số nhưng thường là bộ phận của nhiều biểu thức liên quan đến các giới hạn.

Các ký hiệu +¥, -¥ cũng được sử dụng.

2-7.16 (11-7.5)

x ® a

x tiến tới a

Ký hiệu này xuất hiện như một bộ phận của nhiều biểu thức liên quan đến các giới hạn.

a cũng có thể là ¥, +¥, hoặc -¥.

2-7.17 (-)

m | n

m chia n

Đối với các số nguyên m và n:

$ k Î z m×k= n

2-7.18

(-)

n º k mod m

n là đồng dư với k mod m

Đối với các số nguyên n, k và m: m | (n-k)

Xem thêm 2-7.1.

2-7.19

(1-5.14)

(a + b)

[a + b]

{a + b}

<a + b>

dấu ngoặc đơn dấu ngoặc vuông dấu móc dấu ngoặc nhọn

Chỉ nên sử dụng dấu ngoặc đơn để nhóm, vì các dấu ngoặc và dấu móc có nghĩa riêng trong các lĩnh vực cụ thể. Dấu ngoặc đơn có thể lồng vào nhau mà vẫn không bị lẫn.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-8.1

(11-5.15)

AB || CD

đường thẳng AB song song với đường thẳng CD

Viết g || h nếu g và h là hai đường thẳng xác định bởi các điểm A và B, điểm c và D, tương ứng. AB//CD cũng được dùng.

2-8.2

(11-5.16)

AB^CD

đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD

Viết g ^ h nếu g và h là hai đường thẳng xác định bởi các điểm A và B, điểm C và D, tương ứng. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng này phải cắt nhau.

2-8.3

(-)

góc ở đỉnh B trong tam giác ABC

Góc này không định hướng, thỏa mãn điều kiện

2-8.4

(-)

đoạn thẳng từ A đến B

Đoạn thẳng này là tập các điểm giữa A và B trên đường thẳng AB.

2-8.5

(-)

véctơ từ A đến B

Nếu thì  B, nhìn từ A, nằm trên cùng một hướng và khoảng cách như D nhìn từ C. Điều này không kéo theo là A= C và B= D.

2-8.6

(-)

d(A, B)

khoảng cách giữa điểm A và điểm B

Khoảng cách này là độ dài của đoạn thẳng AB và cũng là độ lớn của véctơ AB.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-9.1

(11-6.1)

a + b

a cộng b

Phép toán này là phép cộng. Dấu + là dấu cộng.

2-9.2 (11-6.2)

a - b

a trừ b

Phép toán này là phép trừ. Dấu - là dấu trừ.

2-9.3 (11-6.3)

A ± b

a cộng hoặc trừ b

Đây là sự kết hợp hai giá trị trong một biểu thức.

2-9.4 (11-6.4)

a ∓ b

a trừ hoặc cộng b

-(a ±b)= -a ∓ b

2-9.5 (11-6.5)

a • b

a x b

a b

ab

a nhân b, a lần b

Phép toán này là phép nhân. Ký hiệu dùng cho phép nhân là dấu chấm giữa dòng (•) hoặc dấu nhân (x).

Có thể bỏ các dấu này nếu không có khả năng hiểu nhầm.

Xem thêm 2-5.16, 2-5.17, 2-17.10, 2-17.11, 2-17.22 và 2-17.23 đối với việc sử dụng dấu chấm và dấu nhân trong các tích số khác nhau.

2-9.6 (11-6.6)

a/b

a chia b

= a• b^-1

Xem thêm TCVN 7870-1 (ISO 80000-1), 7.1.3.

Đối với tỷ số, dấu: cũng được sử dụng,

VÍ DỤ: Tỷ số giữa độ cao h và chiều rộng b của khổ giấy A4 là h: b= .

Không nên sử dụng dấu ÷

2-9.7

(11-6.7)

a₁ + a₂ +...+ a_n
tổng của a₁, a₂, …, a_n

Ký hiệu , , và

Cũng được sử dụng.

2-9.8

(11-6.8)

a₁ × a₂  ×...  a_n,
tích của a₁, a₂, …,a_n

Ký hiệu , , và

cũng được sử dụng.

2-9.9

(11-6.9)

a lũy thừa p

Diễn đạt bằng lời của a² là a bình phương; diễn đạt bằng lời a³ là a lập phương.

2-9.10 (11-6.10)

a^1/2

a mũ 1/2, căn bậc hai của a

Nếu a ≥ 0, thì  ³ 0

Nên tránh sử dụng ký hiệu Öa. Xem chú thích của 2-9.11.

2-9.11

(11-6.11)

a^1/n

a mũ 1/n, căn bậc n của a

Nếu a ³ 0, thì  ³ 0.

Nên tránh sử dụng ký hiệu ⁿÖa.

Nếu dùng ký hiệu ⁿÖ hoặc Ö cho một biểu thức tổng hợp thì phải dùng dấu ngoặc đơn để tránh nhầm lẫn.

2-9.12

(11-6.14)

giá trị trung bình của x, trung bình số học của x

Giá trị trung bình thu được bằng các phương pháp khác là

- trung bình điều hòa biểu thị bằng chỉ số h,

- trung bình hình học biểu thị bằng chỉ số g.

- trung bình toàn phương, biểu thị bằng chỉ số q hoặc rms.

Chỉ có thể bỏ chỉ số trong trường hợp trung bình số học.

Trong toán học  còn được dùng cho liên hợp phức của x; xem 2-14.6.

2-9.13

(11-6.13)

sgn a

dấu của a

Với số thực a:

Xem thêm mục 2-14.7.

2-9.14

(-)

inf M

cận dưới của M

Giới hạn dưới lớn nhất của tập không rỗng các số bị chặn từ bên dưới.

2-9.15

(-)

sup M

cận trên của M

Giới hạn trên nhỏ nhất của một tập không rỗng các số bị chặn từ phía trên.

2-9.16

(11-6.12)

|a|

giá trị tuyệt đối của a,

mô đun của a,

độ lớn của a

Ký hiệu abs A cũng được sử dụng.

Giá trị tuyệt đối của số thực a.

Mô đun của số phức a; xem 2-14.4.

Độ lớn của véctơ a; xem 2-17.4.

Xem thêm 2-5.5.

2-9.17

(11-6.17)

ëaû

sàn a,

số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực a

Ký hiệu ent a cũng được sử dụng.

VÍ DỤ:

ë2,4û= 2

ë-2,4û= -3

2-9.18

(-)

éaù

trần a,

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng số thực a

VÍ DỤ:

é2,4ù= 3

é-2,4ù= -2

2-9.19

(-)

int a

phần nguyên của số thực a

int a= sgn a × ë|a|û

VÍ DỤ:

int(2,4)= 2

int(-2,4)= -2

2-9.20

(-)

frac a

phần thập phân của số thực a

frac a= a - int a

VÍ DỤ:

frac(2,4)= 0,4

frac(-2,4)= -0,4

2-9.21

(-)

min (a, b)

giá trị nhỏ nhất của a và b

Phép toán tổng quát hóa cho nhiều số và các tập số. Tuy nhiên, một tập vô hạn các số không nhất thiết có phần tử nhỏ nhất.

2-9.22

(-)

max(a, b)

giá trị lớn nhất của a và b

Phép toán tổng quát hóa cho nhiều số và các tập số. Tuy nhiên, một tập vô hạn các số không nhất thiết có phần tử lớn nhất.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-10.1 (11-6.15)

n!

giai thừa

n!= = 1 × 2 × 3... × n (n > 0)

0!= 1

2-10.2

(-)

[a]_k

giai thừa giảm

= a × ( a - 1)-...-(a - k + 1) (k > 0)

= 1

a có thể là số phức.

Đối với số tự nhiên n: =

2-10.3

(-)

(a)_k

giai thừa tăng

= a × ( a + 1)-...-(a + k - 1) (k > 0)

= 1

a có thể là số phức.

Đối với số tự nhiên n: =

(a)_k được gọi là ký hiệu Pochhammer trong lý thuyết về hàm đặc biệt. Tuy nhiên, trong tổ hợp và thống kê, thường sử dụng cùng ký hiệu với giai thừa giảm.

2-10.4

(11-6.16)

hệ số nhị thức

= (0 ≤ k ≤ n)

2-10.5

(-)

B_n

Số Bernoulli

2-10.6

(11-6.16)

Tổ hợp không lặp

= =

2-10.7

(-)

^R

tổ hợp lặp

^R  =

2-10.8

(-)

chuyển vị không lặp

= =

Thuật ngữ “hoán vị” được dùng khi n= k.

2-10.9

(-)

^R

chuyển vị lặp

^R  = n^k

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-11.1 (11-7.1)

f, g, h,...

hàm số

Một hàm số ấn định cho đối số bất kỳ trong miền xác định của hàm đó một giá trị duy nhất thuộc miền giá trị.

2-11.2

(11-7.2)

f(x)

f(x₁, …,x_n)

giá trị của hàm số f đối với đối số x hoặc đối số (x₁),.... x_n) tương ứng

Một hàm số có miền xác định là tập các bộ n số là hàm n biến.

2-11.3

(-)

f: A →B

f ánh xạ A vào B

Hàm f có miền xác định A và nhận giá trị 5.

2-11.4

(-)

f: x  T(x)

x Î A

f là hàm số ánh xạ mọi

x Î A thành T(x)

T (x) là biểu thức xác định chỉ ra giá trị của hàm f với đối số x. Vì f (x)= T(x), biểu thức xác định thường được dùng như ký hiệu cho hàm f.

VÍ DỤ: f: x  3x²y, x Î [0;2]

f là hàm số (phụ thuộc vào tham số y) xác định trong khoảng quy định bởi biểu thức 3x²y.

2-11.5

(-)

x  y

f(x)= y.

f ánh xạ x lên y

Ví DỤ:

2-11.6

(11-7.3)

f(b)- f(a)

f(…,b,…) - f(…,a,…)

Ký hiệu này chủ yếu được dùng khi tính tích phân xác định.

2-11.7 (11-7.4)

g ^o f

hàm hợp của f và g,

g hợp f

(g ^o f)(x)= g(f(x))

Trong tổ hợp g ° f, hàm g được áp dụng sau hàm f.

2-11.8 (11-7.6)

Lim f (x)

x → a

lim_x®a f(x)

giới hạn của f(x) khi x tiến đến a

f (x) ® b khi x ® a

có thể viết lim_x®a f(x)= b.

Giới hạn “từ bên phải” (x > a) và “từ bên trái” (x < a) được biểu diễn tương ứng bằng lim_x®a +f(x) và lim_x®a - f(x).

2-11.9

(11-7.8)

f(x)= O(g(x))

f (x) là O lớn của g(x), |f(x)/g(x)| bị chặn từ phía trên trong giới hạn hàm ý theo ngữ cảnh,

f(x) có cùng bậc hoặc bậc thấp hơn so với g(x)

Dấu “ = ” được dùng ở đây vì lý do lịch sử và không có nghĩa bằng do không áp dụng chuyển đổi.

VÍ DỤ:

sin x= O (x), khi x ® 0

2-11.10 (11-7.9)

f(x)= o(g(x))

f(x) là o nhỏ g(x),

f(x)/g(x) ® 0 trong giới hạn hàm ý theo ngữ cảnh,

f(x) có bậc cao hơn bậc của g(x)

Dấu “= ” được dùng ở đây vì lý do lịch sử và không có nghĩa bằng do không áp dụng chuyển đổi.

VÍ DỤ:

cos x= 1 + o (x), khi x ® 0

2-11.11

(11-7.10)

Df

deltaf,

số gia hữu hạn của f

Hiệu giữa hai giá trị hàm số hàm ý theo ngữ cảnh.

VÍ DỤ: Dx=x₂-x₁

Df= f(x₂) -f (x₁)

2-11.12

(11-7.11)

đạo hàm của hàm số f theo x

Chỉ dùng cho các hàm số một biến.

Nếu biến độc lập là thời gian t, thì f^& cũng được dùng cho f.

2-11.13 (11-7.12)

giá trị của đạo hàm của hàm f tại x= a

2-11.14 (11-7.13)

đạo hàm bậc n của hàm f theo x

Chỉ dùng cho các hàm số một biến

f’’ và f’’’ cũng được dùng tương ứng cho f⁽²⁾ và f⁽³⁾.

Nếu biến độc lập là thời gian t, thì f^&& cũng được dùng cho f.

2-11.15

(11-7.14)

đạo hàm riêng của hàm f theo x

Chỉ dùng cho các hàm nhiều biến

Các biến độc lập còn lại có thể được chỉ ra bằng chỉ số dưới, ví dụ

Ký hiệu đạo hàm riêng này được mở rộng cho các đạo hàm bậc cao hơn, ví dụ:

Các ký hiệu khác, ví dụ cũng được sử dụng

2-11.16 (11-7.15)

df

vi phân toàn phần của hàm f

2-11.17

(11-7.16)

df

biến phân vô cùng bé của hàm f

2-11.18 (11-7.17)

tích phân bất định của hàm f

2-11.19

(11-7.18)

tích phân xác định của hàm f từ A đến b

Đây là trường hợp đơn giản của hàm số xác định trong một khoảng. Cũng có thể tính tích phân của các hàm số xác định trong các lĩnh vực chung hơn. Các ký hiệu đặc biệt, ví dụ:  được dùng cho tích phân đường cong c, mặt s, miền ba chiều V và đường cong khép kín hoặc mặt kín, tương ứng.

Đa tích phân ,... cũng được sử dụng.

2-11.20

(-)

Giá trị chính Cauchy của tích phân của f với f kỳ dị tại c

Trong đó a < c < b

2-11.21

(-)

Giá trị chính Cauchy của tích phân của f

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-12.1 (11-8.2)

e

cơ số của loga tự nhiên

e := lim _n®¥ = 2,718 281 8...

2-12.2

(11-8.1)

a^x

a mũ x,

hàm mũ theo cơ số a của x

Xem thêm 2-9.9.

2-12.3

(11-8.3)

e^x

exp x

e mũ x,

hàm mũ theo cơ số e của x

Xem 2-14.5.

2-12.4 (11-8.4)

log_ax

loga cơ số a của x

log x được dùng khi không cần thiết phải ghi rõ cơ số.

2-12.5 (11-8.5)

In x

loga tự nhiên của x

In x= log_e x

log x không được dùng thay cho In x, Ig x, lb x hoặc log_ex, log₁₀ x, log₂ x

2-12.6

(11-8.6)

Lgx

loga thập phân của x, loga chung của x

lgx= log₁₀x

Xem chú thích của 2-12.5.

2-12.7 (11-8.7)

Ib x

loga nhị phân của X

Ibx= log₂x

Xem chú thích của 2-12.5.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-13.1 (11-9.1)

tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của nó

p = 3,141 592 6...

2-13.2 (11-9.2)

sin x

sin của x

thường được viết là sinⁿ x, cosⁿ x,...

2-13.3 (11-9.3)

cos x

cosin của x

cos X= sin(x + p/2)

2-13.4 (11-9.4)

tan x

tang của x

tan x= sin x/cos x

không nên dùng tg X.

2-13.5

(11-9.5)

cot x

cotang của x

cot x= 1/tan x

không nên dùng ctg x.

2-13.6 (11-9.6)

sec x

sec của x

sec x= 1/cos x

2-13.7

(11-9.7)

csc x

cosec của x

csc x= 1/sin x

cosec x cũng được dùng.

2-13.8

(11-9.8)

arcsin X

arc sin của X

y= arcsin x Û x= sin y,

-p /2 ≤ y ≤ p /2

Hàm arcsin là hàm ngược của hàm sin với miền giới hạn như trên.

2-13.9 (11-9.9)

arccos x

arc cosin của x

y= arccos x Û x = cos y, 0 ≤ y ≤ p

Hàm arccos là hàm ngược của hàm cos với miền giới hạn như trên.

2-13.10

(11-9.10)

arctan x

arc tang của x

y= arctan x Û x = tan y,

-p/2 < y < p/2

Hàm arctan là hàm ngược của hàm tan với miền giới hạn như trên.

Không nên sử dụng arctg x.

2-13.11 (11-9.11)

arccot x

arc cotang của x

y= arccot x Û x = cot y, 0 < y < p

Hàm arccot là hàm ngược của hàm cot với miền giới hạn như trên.

Không nên sử dụng arcctg x.

2-13.12 (11-9.12)

arcsec x

arc sec của x

y= arcsec x Û x = sec y,

0 ≤ y ≤ p, y ≠ p/2

Hàm arcsec là hàm ngược của hàm sec với miền giới hạn như trên.

2-13.13 (11-9.13)

arccsc x

arc cosec của x

y= arccsc x Û x = csc y,

(-p/2 ≤ y ≤ p/2, y ≠ 0)

Hàm arccsc là hàm ngược của hàm csc với miền giới hạn như trên.

Nên tránh sử dụng arccosec x.

2-13.14 (11-9.14)

sinh x

sin hypecbol của X

Nên tránh sử dụng sh x.

2-13.15

(11-9.15)

cosh x

cosin hypecbol của x

cosh² x= sinh² x + 1

Nên tránh sử dụng ch x.

2-13.16 (11-9.16)

tanh x

tang hypecbol của x

tanh x= sinh x/cosh x

Nên tránh sử dụng th x.

2-13.17 (11-9.17)

coth x

cotang hypecbol của x

coth x= 1/tanh x

2-13.18

(11-9.18)

sech x

sec hypecbolcủa x

sech x= 1/cosh x

2-13.19 (11-9.19)

csch x

cosec hypecbol của x

csch x= 1/sinh x

Nên tránh sử dụng cosech x.

2-13.20

(11-9.20)

arsinh x

hàm ngược của sin hypecbol của x, miền sin hypecbol của x

y= arsinh x Û x = sinh y

Hàm arsinh là hàm ngược của hàm sinh.

Nên tránh sử dụng arsh x.

2-13.21 (11-9.21)

arcosh x

hàm ngược cosin hypecbol của x, miền cosin hypecbol của x

y= arcosh x Û x = cosh y, y ³ 0

Hàm arcosh là hàm ngược của hàm cosh với miền giới hạn như trên.

Nên tránh sử dụng arch x.

2-13.22

(11-9.22)

artanh x

hàm ngược tang hypecbol của x, miền tang hypecbol của x

y= artanh x Û x = tanh y

Hàm artanh là hàm ngược của hàm tanh.

Nên tránh sử dụng arth X.

2-13.23

(11-9.23)

arcoth x

hàm ngược cotang hypecbol của x, miền cotang hypecbolcủa x

y= arcoth x Û x = coth y, y ≠ 0

Hàm arcoth là hàm ngược của hàm coth với miền giới hạn như trên.

2-13.24

(11-9.24)

arsech x

hàm ngược sec hypecbol của x, diện tích sec hypecbolcủa x

y= arsech x Û x = sech y, y ³ 0

Hàm arcech là hàm ngược của hàm sech với miền giới hạn như trên.

2-13.25

(11-9.25)

arcsch x

hàm ngược cosec hypecbol của X, miền cosec hypecbol của X

y= arcsch x Û x = csch y, y ³ 0

Hàm arcsch là hàm ngược của hàm csch Nên tránh sử dụng arcosech X.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-14.1 (11-10.1)

i

j

đơn vị ảo

i²= j²= -1

i được dùng trong toán học và vật lý, j được dùng trong kỹ thuật điện.

2-14.2

(11-10.2)

Re z

phần thực của z

z= x + i y

trong đó x và y là các số thực.

x= Re z và y = lm z.

2-14.3

(11-10.3)

Im z

phần ảo của z

Xem 2-14.2.

2-14.4

(11-10.4)

|z|

modun của z

|z| =

trong đó x = Re z và y= Im z.

Xem thêm 2-9.16.

2-14.5 (11-10.5)

arg z

góc cực của z

z= r e^ij

trong đó

r= |z| và j = arg z, -p < j <p nghĩa là Re z= r cos j và

Im z = r sin j

2-14.6 (11-10.6)

z*

liên hợp phức của z

 chủ yếu dùng trong toán học,

z* chủ yếu dùng trong vật lý và kỹ thuật.

2-14.7

(11-10.7)

sgn z

dấu của z

sgn z = z / |z|= exp(i arg z) (z ≠ 0)

sgn z= 0 đối với z= 0

Xem thêm mục 2-9.13.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-15.1

(11-11.1)

Ma trận A kiểu m nhân n

A là ma trận với các phần tử a_ij = (A)_ij

m là số hàng và n là số cột.

A= (a_ij) cũng được sử dụng.

Dấu ngoặc vuông cũng được dùng thay cho dấu ngoặc đơn.

2-15.2

(-)

A + B

tổng của ma trận A và B

(A + B)_ij= (A)_ij + (B)_ij

Ma trận A và B phải có cùng số hàng và số cột.

2-15.3

(-)

x A

tích của đại lượng vô hướng x và ma trận A

(x A)_ij= x (A)_ij

2-15.4

(11-11.2)

AB

tích của ma trận A và B

Số cột của A phải bằng số hàng của B.

2-15.5

(11-11.3)

E

i

ma trận đơn vị

Ma trận vuông bất kỳ có (E)_ik= d_ik.

Xem 2-17.9.

2-15.6

(11-11.4)

A^-1

ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A

AA^-1= A^-1 A= E

2-15.7

(11-11.5)

A^T

ma trận chuyển vị của A

2-15.8

(11-11.6)

A*

ma trận liên hợp phức của A

 được dùng trong toán học, A* được dùng trong vật lý và kỹ thuật điện.

2-15.9

(11-11.7)

A^H

ma trận liên hợp Hermite của A

Thuật ngữ “ma trận tiếp giáp” cũng được sử dụng.

A* và A⁺ cũng được dùng cho A^H.

2-15.10

(11-11.8)

định thức của ma trận vuông A

2-15.11

(-)

rank A

hạng của ma trận A

Hạng của ma trận A là số hàng độc lập tuyến tính của A. Nó cũng bằng số cột độc lập tuyến tính của A.

2-15.12

(11-11.9)

tr A

vết của ma trận vuông A

tr A=

2-15.13

(11-11.10)

||A||

chuẩn của ma trận A

Chuẩn của ma trận A là số đặc trưng cho ma trận này và thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

nếu A + B= C, thì

||A|| + ||B|| ³ ||C||.

Các chuẩn ma trận khác nhau cũng được sử dụng.

Số mục

Các tọa độ

Vị trí vectơ và vi phân của nó

Tên của hệ tọa độ

Chú thích

2-16.1

(11-12.1)

x, y, z

tọa độ Đêcac

x₁, x₂, x₃ đối với tọa độ và e₁, e₂, e₃ đối với vectơ cơ sở cũng được sử dụng. Ký hiệu này dễ tổng quát cho không gian n chiều.

e_x, e_y, e_z , tạo thành một hệ trực chuẩn thuận. Xem các Hình 1 và 4.

Đối với vectơ cơ sở, i, j, k cũng được sử dụng.

2-16.2 (11-12.2)

p,j,z

tọa độ trục

e_p(j), e_j (j), e_z tạo thành một hệ trực chuẩn thuận. Xem Hình 2. Nếu 2= 0, thì p và j là các tọa độ cực.

2-16.3

(11-12.3)

r, J,j

tọa độ cầu

e_r( J, j), e_J(J, j), ej (j) tạo thành một hệ trực chuẩn thuận. Xem Hình 3.

CHÚ THÍCH: Nếu, trường hợp ngoại lệ, sử dụng hệ nghịch (xem Hình 5) thay cho hệ thuận (xem Hình 4) vì mục đích nhất định, thì phải nêu rõ để tránh sai dấu.

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-17.1 (11-13.1)

vectơ a

Có thể sử dụng ký hiệu chữ có mũi tên trên đầu thay cho kiểu chữ đậm để chỉ thị vectơ.

2-17.2

(-)

a + b

tổng của vectơ a và b

(a + b)_i= a_i + b_i

2-17.3

(-)

xa

tích của một số, lượng vô hướng hoặc thành phần X với vectơ a

(xa)_i= xa_i

2-17.4 (11-13.2)

|a|

a

độ lớn của vectơ a, chuẩn của vectơ a

|| a || cũng được dùng. Xem thêm 2-9.16.

2-17.5

(-)

vectơ không

Vectơ không có độ lớn bằng 0.

2-17.6

(11-13.3)

e_a

vectơ đơn vị theo phương của a

e_a= a |a|, a ≠ 0

a = |a|e_a

2-17.7 (11-13.4)

vectơ đơn vị theo hướng của các trục tọa độ Đêcac

i, j, k Cũng được dùng.

2-17.8 (11-13.5)

các thành phần Đêcac của vectơ a

a_x e_x …..là các vectơ thành phần. Trong trường hợp các vectơ cơ sở là đã biết thì vectơ có thể viết là

a= (a_x, a_y, a_z).

a_x= a×e_x, cycl, cycl

r= xe_x + ye_y +ze_z là vectơ vị trí (vectơ bán kính) của điểm đó với các tọa độ X, y, z.

2-17.9 (11-7.19)

d_ijk

ký hiệu delta Kronecker

2-17.10

(11-7.20)

e_ijk

ký hiệu Levi-Civita

e₁₂₃= e₂₃₁= e₃₁₂= 1

e₁₃₂= e₃₂₁= e₂₁₃= -1

Mọi trường hợp khác e_ijk bằng 0.

2-17.11 (11-13.6)

a × b

tích vô hướng của a và b

Trong các lĩnh vực đặc biệt, (a, b) cũng được dùng.

2-17.12 (11-13.7)

a x b

tích vectơ của a và b

Trong hệ tọa độ Đêcac thuận, các thành phần là

Xem 2-17.9.

2-17.13 (11-13.8)

toán tử nabla

Toán tử này còn được gọi là “toán tử del”.

2-17.14 (11-13.9)

Ñ j

grad j

gradien của j

cần tránh viết toán tử grad trong mặt mỏng.

2-17.15 (11-13.10)

Ñ × a

div a

div của a

2-17.16 (11-13.11)

Ñ x a

rot a

rot của a

Các thành phần là

Phải tránh phép toán rot mặt cong và mỏng.

Xem 2-17.10.

2-17.17 (11-13.12)

Ѳ

D

toán tử Laplace

2-17.18 (11-13.13)

 ÿ

toán tử Dalembert

2-17.19

(11-13.14)

tenxơ T bậc hai

Để biểu thị tenxơ bậc hai, có thể dùng hai mũi trên trên chữ cái thay cho kiểu chữ không chân in đậm.

2-17.20

(11-13.15)

T_xx, T_xy, .., T_zz

T₁₁, T₁₂, … , T₃₃

thành phần Đêcac của tenxơ T

là các tenxơ thành phần.

Khi các vectơ cơ sở đả biết rõ, có thể viết

2-17.21 (11-13.16)

ab

aÄb

tích nhị nguyên,

tích tenxơ của hai vectơ a và b

tenxơ bậc hai với các thành phần (ab)_{ij =} a_ib_j

2-17.22 (11-13.17)

TÄS

tích tenxơ của hai tenxơ bậc hai T và S

tenxơ bậc bốn với các thành phần

2-17.23 (11-13.18)

T×S

tích nội của hai tenxơ bậc hai T và S

tenxơ bậc hai với các thành phần

2-17.24

(11-13.19)

T×a

tích nội của tenxơ bậc hai T và vectơ a

vectơ với các thành phần

2-17.25 (11-13.20)

T:S

tích vô hướng của hai tenxơ bậc hai T và S

lượng vô hướng

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-18.1

(-)

phép biến đổi Fourier của f

Thường ký hiệu bằng

cũng được dùng.

2-18.2

(-)

phép biến đổi Laplace của f

Thường ký hiệu bằng

Phép biến đổi Laplace hai vế cũng được sử dụng, tính theo công thức tương tự nhưng với âm vô cùng thay cho không.

2-18.3

(-)

3 (a_n)

phép biến đổi z của (a_n)

3 là phép toán tính theo dãy (a_n) chứ không phải là hàm số của a_n.

Phép biến đổi z hai vế cũng được sử dụng, tính theo công thức tương tự nhưng với âm vô cùng thay cho không.

2-18.4

(11-7.22)

H(x)

e(x)

hàm Heaviside, hàm bậc thang đơn vị

U(x) cũng được dùng.

J (t) được dùng cho hàm bậc thang đơn vị của thời gian.

VÍ DỤ: (LH)(s)= 1/s (Re s > 0)

2-18.5

(11-7.21)

d(x)

phân bố delta Dirac, hàm delta Dirac

H’ = d

Tên đơn vị xung cũng được dùng.

VÍ DỤ: L d= 1

Xem thêm 2-18.6 và IEC 60027- 6:2006, mục 2.01.

2-18.6

(11-7.23)

 f *g

tích chập của f và g

Số mục

Dấu, ký hiệu, biểu thức

Ý nghĩa, diễn đạt bằng lời

Chú thích và ví dụ

2-19.1

(-)

g

C

hằng số Euler

2-19.2

(11-14.19)

(z)

hàm gamma

 (z) là hàm phân hình với các cực tại 0, -1.-2, -3,...

2-19.3 (11-14.23)

hàm zeta Riemann

 là hàm phân hình với một cực tại z= 1

2-19.4

(11-14.20)

B (z, w)

hàm beta

2-19.5 (11-14.21)

Ei x

tích phân hàm mũ

Đối với , xem 2-11.20.

2-19.6

(-)

li x

tích phân loga

Đối với , xem 2-11.20.

2-19.7

(-)

Si z

tích phân sin

được gọi là tích phân sin bù.

2-19.8

(-)

S(z)

C(z)

tích phân Fresnel

2-19.9 (11-14.22)

erf x

hàm sai số

erfc x = 1- erf x được gọi là hàm sai số bù.

Trong thống kê học, hàm phân bố

được dùng

2-19.10

(11-14.16)

F (j, k)

tích phân eliptic không đầy đủ loại một

K(k)= F(p/2, k) là tích phân eliptic đầy đủ loại một (ở đây 0 < k < 1, k Î R).

2-19.11 (11-14.17)

E (j, k)

tích phân eliptic không đầy đủ loại hai

E(k)= E(p/2, k) là tích phân eliptic đầy đủ loại hai (ở đây 0 < k < 1, k Î R).

2-19.12 (11-14.18)

Õ(n, j , k)

tích phân eliptic không đầy đủ loại ba