Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 12741:2019 (ISO/TS 28037:2010) về Xác định và sử dụng hàm hiệu chuẩn đường thẳng

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 12741:2019

ISO/TS 28037:2010

XÁC ĐỊNH VÀ SỬ DỤNG HÀM HIỆU CHUẨN ĐƯỜNG THẲNG

Determination and use of straight-line calibration functions-

Lời nói đầu

TCVN 12741:2019 hoàn toàn tương đương với ISO/TS 28037:2010.

TCVN 12741:2019 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

Lời giới thiệu

Hiệu chuẩn là một phần thiết yếu của nhiều quy trình đo và thường bao gồm việc làm khớp dữ liệu đo được với hàm hiệu chuẩn mô tả rõ nhất mối quan hệ của một biến này với biến khác. Tiêu chuẩn này xét các hàm hiệu chuẩn đường thẳng mô tả biến phụ thuộc Y như hàm của biến độc lập X. Mối quan hệ đường thẳng phụ thuộc vào phần chắn A và độ dốc B của đường thẳng. A và B được gọi là các tham số của đường thẳng. Mục đích của quy trình hiệu chuẩn là để xác định các ước lượng a và b của A và B đối với một hệ thống đo cụ thể đang xem xét trên cơ sở dữ liệu đo (x_i, y_i), i = 1, …, m, cung cấp bởi hệ thống đo. Dữ liệu đo có độ không đảm bảo kèm theo, nghĩa là sẽ có độ không đảm bảo gắn với a và b. Tiêu chuẩn này mô tả cách thức a và b có thể được xác định dựa trên dữ liệu và thông tin về độ không đảm bảo kèm theo. Tiêu chuẩn cũng cung cấp phương tiện để đánh giá độ không đảm bảo kèm theo các ước lượng này. Việc xử lý độ không đảm bảo trong tiêu chuẩn này được tiến hành theo cách thức nhất quán với TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), Độ không đảm bảo đo - Phần 3: Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM:1995).

Với thông tin độ không đảm bảo kèm theo dữ liệu đo, phương pháp thích hợp có thể được quy định để xác định các ước lượng của tham số hàm hiệu chuẩn. Thông tin về độ không đảm bảo này có thể bao gồm hiệu ứng hiệp phương sai định lượng, liên quan đến sự phụ thuộc giữa một số hoặc tất cả các đại lượng liên quan.

Khi mô hình đường thẳng đã được khớp với dữ liệu, cần xác định xem mô hình và dữ liệu có thống nhất với nhau hay không. Trong trường hợp thống nhất, mô hình thu được có thể sử dụng để dự đoán giá trị x của biến X tương ứng với giá trị đo được y của biến Y cung cấp bởi cùng một hệ thống đo. Cũng có thể sử dụng mô hình này để đánh giá độ không đảm bảo kèm theo các tham số hàm hiệu chuẩn và độ không đảm bảo kèm theo giá trị dự đoán x.

Do đó, việc xác định và sử dụng hàm hiệu chuẩn đường thẳng có thể được xem là gồm năm bước:

Các bước trên đây được trình bày bằng sơ đồ trên Hình 1.

Mục đích chính của tiêu chuẩn này là để xem xét các bước từ 2 đến 5. Do đó, như một phần bước 1, trước khi sử dụng tiêu chuẩn này, người sử dụng sẽ cần cung cấp độ không đảm bảo chuẩn, và hiệp phương sai nếu liên quan, gắn với giá trị Y đo được và, khi thích hợp, độ không đảm bảo chuẩn, và hiệp phương sai nếu liên quan, gắn với giá trị X đo được, Cần tính đến các nguyên tắc của GUM khi đánh giá độ không đảm bảo này dựa trên mô hình đo cụ thể cho lĩnh vực liên quan.

TCVN 9598:2013 (ISO 11095:1996) [14] liên quan đến hiệu chuẩn tuyến tính sử dụng mẫu chuẩn. Những khác biệt so với tiêu chuẩn này được trình bày trong Bảng 1.

Phương pháp số được cho dựa trên Tài liệu tham khảo [6].

Hình 1 - Tóm tắt các bước trong việc xác định và sử dụng hàm hiệu chuẩn đường thẳng

Bảng 1 - Khác biệt giữa TCVN 9598:2013 (ISO 11095:1996) và tiêu chuẩn này

XÁC ĐỊNH VÀ SỬ DỤNG HÀM HIỆU CHUẨN ĐƯỜNG THẲNG

Determination and use of straight-line calibration functions-

1  Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này đề cập đến hàm hiệu chuẩn tuyến tính, tức hàm hiệu chuẩn đường thẳng, mô tả mối quan hệ giữa hai biến X và Y, gọi là hàm có dạng Y = A + BX. Mặc dù có nhiều nguyên tắc áp dụng cho các loại hàm hiệu chuẩn tổng quát hơn, nhưng bất kỳ khi nào có thể, các cách tiếp cận được mô tả đều khai thác dạng đơn giản của hàm hiệu chuẩn đường thẳng.

Giá trị của các tham số A và B, được xác định trên cơ sở các điểm dữ liệu đo được (x_i, y_i), i = 1,…, m. Nhiều trường hợp khác nhau được xem xét liên quan đến tính chất của độ không đảm bảo kèm theo các dữ liệu này. Không có giả định nào được đưa ra về sai số liên quan đến y_i là phương sai không đổi (có phương sai bằng nhau), và tương tự với x_i khi sai số là đáng kể.

Ước lượng của các tham số A và B được xác định bằng cách sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Điểm nhấn mạnh của tiêu chuẩn này là việc chọn phương pháp bình phương tối thiểu thích hợp nhất cho loại dữ liệu đo, cụ thể là các phương pháp phản ánh độ không đảm bảo kèm theo. Loại ma trận hiệp phương sai tổng quát nhất gắn với dữ liệu đo được xử lý, nhưng những trường hợp đặc biệt quan trọng dẫn đến các tính toán đơn giản hơn sẽ được mô tả chi tiết.

Đối với tất cả các trường hợp xem xét, phương pháp xác nhận việc sử dụng hàm hiệu chuẩn đường thẳng và đánh giá độ không đảm bảo, hiệp phương sai kèm theo các ước lượng tham số sẽ được đưa ra.

Tiêu chuẩn này cũng mô tả việc sử dụng các ước lượng tham số của hàm hiệu chuẩn và độ không đảm bảo, hiệp phương sai kèm theo của chúng để dự đoán giá trị của X và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo dựa vào giá trị đo được của Y và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo.

CHÚ THÍCH 1: Tiêu chuẩn này không đưa ra cách xử lý chung các giá trị bất thường trong dữ liệu đo, mặc dù kiểm nghiệm hiệu lực đã cho có thể sử dụng làm cơ sở để xác định dữ liệu không thống nhất.

CHÚ THÍCH 2: Tiêu chuẩn này mô tả phương pháp đánh giá độ không đảm bảo gắn với dữ liệu đo trong trường hợp độ không đảm bảo chỉ được biết dựa vào hệ số thang đo (Phụ lục E).

2  Tài liệu viện dẫn

Các tài liệu viện dẫn trong tiêu chuẩn này rất cần thiết cho việc áp dụng tiêu chuẩn. Đối với các tài liệu có ghi năm công bố thì áp dụng bản được nêu. Đối với các tài liệu không ghi năm công bố thì áp dụng phiên bản mới nhất, bao gồm cả các sửa đổi.

TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), Từ vựng quốc tế về đo lường học - Khái niệm, thuật ngữ chung và cơ bản (VIM)

TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), Độ không đảm bảo đo - Phần 3: Hướng dẫn trình bày độ không đảm bảo đo (GUM:1995)

3  Thuật ngữ và định nghĩa

Tiêu chuẩn này áp dụng các thuật ngữ và định nghĩa trong TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007) và các thuật ngữ và định nghĩa dưới đây.

Giải thích các ký hiệu chính được nêu trong Phụ lục G.

3.1

Giá trị đại lượng đo được (measured quantity value)

Giá trị đại lượng đại diện cho kết quả đo.

[TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), 2.10]

3.2

Độ không đảm bảo đo (measurement uncertainty)

Tham số không âm đặc trưng cho sự phân tán của các giá trị đại lượng được quy cho đại lượng đo, trên cơ sở thông tin đã sử dụng.

[TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), 2.26]

3.3

Độ không đảm bảo đo chuẩn (standard measurement uncertainty)

Độ không đảm bảo đo được thể hiện là độ lệch chuẩn.

[TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), 2.30]

3.4

Hiệp phương sai gắn với hai giá trị đại lượng (covariance associated with two quantity values)

Tham số đặc trưng cho sự phụ thuộc lẫn nhau của các giá trị đại lượng được quy cho hai đại lượng đo, trên cơ sở thông tin đã sử dụng.

3.5

Ma trận hiệp phương sai đo (measurement covariance matrix)

Ma trận hiệp phương sai (covariance matrix)

Ma trận kích thước N x N gắn với ước lượng véc tơ của đại lượng véc tơ kích thước N x 1, chứa trên đường chéo của nó các bình phương của độ không đảm bảo chuẩn gắn với các thành phần tương ứng của ước lượng véc tơ của đại lượng véc tơ, và, trên các vị trí ngoài đường chéo của nó, là các hiệp phương sai gắn với các cặp thành phần của ước lượng véc tơ của đại lượng véc tơ.

CHÚ THÍCH 1: Ma trận hiệp phương sai U_x kích thước N x N gắn với ước lượng véc tơ x của đại lượng véc tơ X có dạng

trong đó cov(x_i, x_j) = u²(x_i) là phương sai (độ không đảm bảo chuẩn bình phương) gắn với x_i và cov(x_i, x_j) là hiệp phương sai gắn với x_i và x_j. cov(x_i, x_j) = 0 nếu các thành phần X_i và X_j, của X là không tương quan.

CHÚ THÍCH 2: Các hiệp phương sai còn gọi là độ không đảm bảo tương hỗ.

CHÚ THÍCH 3: Ma trận hiệp phương sai còn gọi là ma trận phương sai-hiệp phương sai.

CHÚ THÍCH 4: Định nghĩa lấy từ [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008, định nghĩa 3.11 [13].

3.6

Mô hình đo (measurment model)

Hệ thức toán học trong đó tất cả các đại lượng đã biết liên quan đến phép đo.

[TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), 2.48]

3.7

Mô hình hàm (functional model)

Mô hình thống kê liên quan đến các sai số gắn với biến phụ thuộc.

3.8

Mô hình cấu trúc (structural model)

Mô hình thống kê liên quan đến các sai số gắn với biến độc lập và biến phụ thuộc.

3.9

Hiệu chuẩn (calibration)

Hoạt động, trong những điều kiện quy định, bước thứ nhất là thiết lập mối liên hệ giữa các giá trị đại lượng có độ không đảm bảo đo do chuẩn đo lường cung cấp và các số chỉ tương ứng với độ không đảm bảo đo kèm theo và bước thứ hai là sử dụng thông tin này thiết lập mối liên hệ để nhận được kết quả đo từ số chỉ.

CHÚ THÍCH 1: Hiệu chuẩn có thể diễn tả bằng một tuyên bố, hàm hiệu chuẩn, biểu đồ hiệu chuẩn, đường cong hiệu chuẩn, hoặc bảng hiệu chuẩn. Trong một số trường hợp nó có thể bao gồm sự hiệu chính cộng hoặc nhân của số chỉ với độ không đảm bảo đo kèm theo.

CHÚ THÍCH 2: Không được nhầm lẫn hiệu chuẩn với hiệu chỉnh hệ thống đo, thường gọi sai là “tự hiệu chuẩn”, cũng không được nhầm lẫn với kiểm định của hiệu chuẩn.

CHÚ THÍCH 3: Thông thường chỉ riêng bước đầu tiên trong định nghĩa trên được hiểu là hiệu chuẩn.

[TCVN 6165:2009 (ISO/IEC Guide 99:2007), 2.39]

3.10

Phân bố xác suất (probability distribution)

hàm đưa ra xác suất mà biến ngẫu nhiên lấy giá trị bất kỳ đã cho hoặc thuộc tập hợp các giá trị đã cho.

CHÚ THÍCH 1: Xác suất trên toàn bộ tập hợp giá trị của biến ngẫu nhiên bằng 1.

CHÚ THÍCH 2: Phân bố xác suất được gọi là đơn biến khi nó liên quan đến một biến ngẫu nhiên (vô hướng), và đa biến khi nó liên quan đến véc tơ của các biến ngẫu nhiên. Phân bố xác suất đa biến còn được mô tả là phân bố đồng thời.

CHÚ THÍCH 3: Phân bố xác suất có thể có dạng hàm phân bố hoặc hàm mật độ xác suất.

CHÚ THÍCH 4: Định nghĩa và Chú thích 1 lấy từ TCVN 8244-1:2010 (ISO 3534-1:2006), định nghĩa 2.11 và TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), định nghĩa C.2.3; Chú thích 2 và 3 lấy từ ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008, định nghĩa 3.1 [13].

3.11

Phân bố chuẩn (normal distribution)

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

với -∞ < x < +∞

CHÚ THÍCH 1: µ là kỳ vọng và σ là độ lệch chuẩn của X.

CHÚ THÍCH 2: Phân bố chuẩn còn được gọi là phân bố Gauss.

CHÚ THÍCH 3: Định nghĩa và Chú thích 1 lấy từ TCVN 8244-1:2010 (ISO 3534-1:2006), định nghĩa 2.50; Chú thích 2 lấy từ TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008), định nghĩa C.2.14.

3.12

Phân bố t (t-distribution)

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

với -∞ < x < +∞, với tham số v, số nguyên dương, là bậc tự do của phân bố, trong đó

là hàm gamma.

[ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008, định nghĩa 3.5].

3.13

Phân bố Khi-bình phương (chi-squared distribution)

Phân bố c² (c² distribution)

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

với 0 ≤ x < +∞, với tham số v, số nguyên dương, trong đó  là hàm gamma.

CHÚ THÍCH: Tổng bình phương của n biến chuẩn chuẩn hóa độc lập là biến ngẫu nhiên c² với tham số n; khi đó n được gọi là bậc tự do.

3.14

Ma trận xác định dương (positive definite matrix)

Ma trận M kích thước n x n có tính chất z^TMz > 0 đối với mọi véc tơ z khác 0 kích thước n x 1.

3.15

Ma trận nửa xác định dương (positive semi-definite matrix)

Ma trận M kích thước n x n có tính chất z^TMz ≥ 0 đối với mọi véc tơ z khác 0 kích thước n x 1.

4  Quy ước và ký hiệu

Với mục đích của tiêu chuẩn này, các quy ước và ký hiệu sau được sử dụng.

4.1  X được gọi là biến độc lập và Y là biến phụ thuộc ngay cả khi hiểu biết về X và Y là ‘có thể hoán đổi’ ví dụ như trong Điều 7.

4.2  Đại lượng A và B được gọi là các tham số của hàm hiệu chuẩn đường thẳng Y = A + BX. A và B còn được dùng để ký hiệu các biến (giả) trong biểu thức liên quan đến các tham số hàm hiệu chuẩn.

4.3  Đại lượng X_i và Y_i được dùng làm biến (giả) để ký hiệu cho tọa độ của điểm dữ liệu thứ i.

4.4  Các hằng số A* và B* là giá trị (chưa biết) của A và B xác định hàm hiệu chuẩn đường thẳng Y = A* + B*X đối với hệ thống đo cụ thể đang xét.

4.5  Các hằng số  và  là tọa độ (chưa biết) của điểm dữ liệu thứ i do hệ thống đo cung cấp thỏa mãn .

4.6  x_i và y_i là giá trị đo được của tọa độ của điểm dữ liệu thứ i.

4.7  a và b là các ước lượng của tham số hàm hiệu chuẩn đối với hệ thống đo.

4.8   và  là các ước lượng của tọa độ của điểm dữ liệu thứ i thỏa mãn .

4.9  Véc tơ kích thước m x 1 được ký hiệu là:

và ma trận kích thước m x n được ký hiệu là:

Kích thước của véc tơ hoặc ma trận luôn được quy định để tránh nhầm lẫn có thể có.

4.10  T ký hiệu cho chuyển vị.

4.11  Ma trận 0 được ký hiệu bằng 0 và véc tơ đơn vị được ký hiệu là 1.

4.12  Một số ký hiệu có nhiều hơn một nghĩa. Bối cảnh sẽ làm rõ việc sử dụng.

4.13  Các số trình bày trong các bảng tới số chữ số thập phân xác định là các đại diện được làm tròn chính xác của các số lưu giữ ở độ chụm cao hơn, ví dụ như trong trường hợp bảng tính. Do đó, có thể nhận thấy sự không thống nhất nhỏ giữa tổng cột hiển thị và tổng cột các số hiển thị.

4.14  Trong một số bảng, số điều nhỏ ở trên một cột hoặc các cột chỉ ra nơi mà công thức được cho để xác định các giá trị bên dưới.

4.15  Trong các ví dụ, trong khi giá trị dữ liệu được cung cấp với độ chụm đã cho thì các kết quả tính toán được cung cấp với độ chụm cao hơn để cho phép người sử dụng so sánh kết quả khi thực hiện tính toán.

5  Các nguyên tắc hiệu chuẩn đường thẳng

5.1  Khái quát

5.1.1  Điều này xem xét hệ thức Y = A + BX mô tả biến phụ thuộc Y (còn gọi là ‘đáp ứng’) như hàm của biến độc lập X (còn gọi là ‘mô phỏng’) có thể được xác định từ dữ liệu đo như thế nào. Trong bối cảnh hiệu chuẩn, dữ liệu đo phát sinh khi phương tiện đo được quy định bởi các giá trị A* và B* (chưa biết) của tham số hàm hiệu chuẩn được ‘mô phỏng’ bằng vật mẫu với giá trị hiệu chuẩn của X_i được cho theo đơn vị của chuẩn, của tính chất của vật mẫu, và ‘đáp ứng’ tương ứng hoặc số chỉ Y_i của phương tiện được ghi lại. Hệ thức này cung cấp đáp ứng Y của hệ thống dựa vào vật mẫu có đại lượng được hiệu chuẩn X. Quá trình này được gọi là ‘đánh giá tiếp’. Hữu ích hơn trong thực tiễn là hệ thức này cho phép chuyển đổi đáp ứng đo được y của Y thành ước lượng x, theo các đơn vị của chuẩn, của tính chất X của vật mẫu. Quá trình này được gọi là ‘đánh giá ngược’ hoặc ‘dự đoán’.

5.1.2  Việc hiệu chuẩn hệ thống đo cần tính đến độ không đảm bảo đo, và, nếu có, hiệp phương sai gắn với dữ liệu đo. Đầu ra của quy trình hiệu chuẩn là hàm hiệu chuẩn được sử dụng cho dự đoán (và, nếu cần, đánh giá tiếp). Đầu ra cũng bao gồm độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai gắn với ước lượng a và b của tham số mô tả hàm hiệu chuẩn, được sử dụng để đánh giá độ không đảm bảo chuẩn gắn với dự đoán (và đánh giá tiếp).

5.2  Đầu vào để xác định hàm hiệu chuẩn

5.2.1  Dữ liệu đo

Thông tin yêu cầu để xác định hàm hiệu chuẩn đường thẳng là dữ liệu đo và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo cùng với hiệp phương sai. Trong tiêu chuẩn này, dữ liệu đo được ký hiệu bằng (x_i, y_i), i = 1,…, m, tức là m cặp giá trị đại lượng đo được của X và Y. Giả định rằng m ít nhất bằng hai và các giá trị của x_i không bằng nhau.

CHÚ THÍCH: Độ không đảm bảo kèm theo các ước lượng a và b thường giảm khi m tăng. Do đó, hiệu chuẩn cần hướng tới sử dụng càng nhiều điểm dữ liệu đo được nếu khả thi về kinh tế.

5.2.2  Độ không đảm bảo kèm theo và hiệp phương sai

Độ không đảm bảo chuẩn gắn với x_i và y_i được ký hiệu tương ứng là u(x_i) và u(y_i). Hiệp phương sai gắn với x_i và x_j được ký hiệu là cov(x_i, x_j). Tương tự, giá trị gắn với y_i và y_j và với x_i và y_j được ký hiệu tương ứng là cov(y_i, y_j) và cov(x_i, y_i). Phụ lục D chỉ ra cách độ không đảm bảo và hiệp phương sai gắn với biến đáp ứng và biến mô phỏng đo được có thể được đánh giá và đưa ra giải thích về thông tin độ không đảm bảo đó. Thông tin hoàn chỉnh về độ không đảm bảo được trình bày bằng dãy các phần tử (ma trận) U kích thước 2m x 2m chứa các phương sai (độ không đảm bảo chuẩn bình phương) u²(x_i) và u²(y_i) và các hiệp phương sai:

Đối với nhiều ứng dụng, một số hoặc tất cả các hiệp phương sai được lấy bằng 0 (xem 5.3).

CHÚ THÍCH: Tiêu chuẩn này liên quan đến các vấn đề trong đó u(x_i) hoặc u(y_i) thường khác nhau.

5.3  Xác định hàm hiệu chuẩn

5.3.1  Đầu vào để xác định hàm hiệu chuẩn là dữ liệu đo, độ không đảm bảo kèm theo và các hiệp phương sai có thể có. Cho trước các tham số A và B, đầu vào có thể sử dụng để cung cấp thước đo sai lệch của điểm dữ liệu thứ i (x_i, y_i) so với đường thẳng Y= A + BX. Các ước lượng a và b được xác định bằng cách tối thiểu hóa tổng bình phương các sai lệch này, hoặc thước đo chung hơn khi mọi hiệp phương sai khác 0. Điều này đạt được như thế nào tùy thuộc vào ‘cấu trúc độ không đảm bảo’ gắn với dữ liệu đo. Cấu trúc này liên quan đến câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:

i) Độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được x_i là không đáng kể?

ii) Hiệp phương sai gắn với cặp giá trị đo được là không đáng kể?

5.3.2  Trong tiêu chuẩn này xem xét các trường hợp sau đây, được cho theo thứ tự phức tạp tăng dần và tùy thuộc vào câu trả lời cho các câu hỏi ở 5.3.1:

a) Chỉ có độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được y_i và tất cả các hiệp phương sai gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể (Điều 6);

b) Độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được x_i và y_i và tất cả các hiệp phương sai gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể (Điều 7);

c) Độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được x_i và y_i và chỉ các hiệp phương sai gắn với cặp (x_i, y_i) (Điều 8);

d) Chỉ có độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được y_i và chỉ các hiệp phương sai gắn với y_i và y_j (i ≠ j) (Điều 9);

e) Trường hợp chung nhất trong đó có độ không đảm bảo gắn với giá trị đo được x_i và y_i và hiệp phương sai gắn với tất cả các cặp giá trị của x_i, x_j, và y_i (Điều 10).

5.3.3  Đối với từng trường hợp trong 5.3.2 được cho

a) dữ liệu đo và cấu trúc độ không đảm bảo quy định,

b) mô hình thống kê tương ứng,

c) vấn đề bình phương tối thiểu nhắm đến,

d) các bước tính toán,

e) tính chất của mô hình thống kê,

f) giá trị sử dụng của mô hình,

g) tổ chức tính toán cho máy tính, khi thích hợp,

h) thuật toán số, khi thích hợp, và

i) một hoặc nhiều ví dụ thực tế.

5.4  Xử lý số

Phụ lục C đưa ra cách tiếp cận chung cho trường hợp tổng quát nhất là e) trong 5.3.2. Nó có thể sử dụng để xử lý tất cả các trường hợp khác và sử dụng các phương pháp tinh vi, ổn định về số học. Tuy nhiên, các trường hợp từ a) đến c) trong 5.3.2 có thể được xử lý bằng cách sử dụng các thao tác cơ bản, ví dụ, có thể thực hiện trong bảng tính. Các trường hợp d) và e) trong 5.3.2 đòi hỏi một số thao tác ma trận, dễ áp dụng theo ngôn ngữ máy tính hỗ trợ số học ma trận, nhưng không phù hợp lắm cho tính bằng bảng tính.

5.5  Độ không đảm bảo và hiệp phương sai gắn với tham số hàm hiệu chuẩn

5.5.1  Đối với tất cả các trường hợp xem xét, các ước lượng của tham số hàm hiệu chuẩn có thể được thể hiện (rõ ràng hoặc hàm ý) như hàm của dữ liệu đo. Các nguyên tắc của GUM [TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008)] có thể được áp dụng để lan truyền độ không đảm bảo và hiệp phương sai gắn với dữ liệu đo thông qua các hàm này để thu được giá trị gắn với các ước lượng tham số này. Theo cách này, dữ liệu đo được sử dụng để cung cấp ước lượng a và b của tham số hàm hiệu chuẩn, và để đánh giá độ không đảm bảo chuẩn u(a) và u(b) và hiệp phương sai cov(a,b) gắn với các ước lượng này. Đối với trường hợp a) và d) trong 5.3.2, sự lan truyền là chính xác vì ước lượng tham số có thể được biểu thị như tổ hợp tuyến tính của các đầu vào y_i. Đối với các trường hợp khác, trong đó ước lượng tham số không thể biểu thị như vậy thì lan truyền là gần đúng, dựa trên tuyến tính hóa về ước lượng tham số. Vì nhiều mục đích, giá trị gần đúng thu được bằng phép tuyến tính hóa sẽ đủ chính xác.

CHÚ THÍCH: Khi lan truyền độ không đảm bảo là gần đúng, và đặc biệt nếu độ không đảm bảo liên quan lớn (ví dụ, trong một số lĩnh vực đo sinh học), thì có thể sử dụng cách tiếp cận dựa trên lan truyền phân bố. Cách tiếp cận này [ISO/IEC Guide 98-3:2008/Suppl. 1:2008] sử dụng phương pháp Monte Carlo (không đề cập trong tiêu chuẩn này).

5.5.2  Các đầu ra chính trong mô tả hàm hiệu chuẩn đường thẳng là véc to ước lượng tham số a kích thước 2 x 1 và ma trận hiệp phương sai U_a kích thước 2 x 2 được cho bởi

trong đó u(a) và u(b) là độ không đảm bảo chuẩn gắn với a và b, tương ứng, và cov(a,b) = cov(b,a) là hiệp phương sai gắn với a và b.

5.6  Xác nhận giá trị sử dụng của mô hình

5.6.1  Trong việc xác định ước lượng a và b của tham số hàm hiệu chuẩn đường thẳng, giả định rằng mô hình Y = A + BX là hợp lý và độ không đảm bảo gắn với dữ liệu đo đưa ra thước đo tin cậy về độ lệch của dữ liệu đo so với đường thẳng. Khi a và b đã được xác định, độ lệch thực tế của điểm dữ liệu so với hàm hiệu chuẩn khớp tốt nhất có thể được đánh giá dựa trên độ lệch dự đoán. So sánh này liên quan đến thước đo tổng hợp độ lệch biểu thị bằng tổng các bình phương  của m phần dư có trọng số, phần dư có trọng số thứ i là thước đo độ lệch của điểm dữ liệu thứ i so với đường thẳng, hoặc, khi hiệp phương sai gắn với điểm dữ liệu thứ i (x_i, y_i) là khác 0 so với một dạng tổng quát hơn. Nếu  lớn hơn nhiều so với dự kiến thì trên cơ sở thống kê, có lý do để đặt ra câu hỏi về hiệu lực của các giả định mô hình.

5.6.2  Từ quan điểm thống kê, dữ liệu đo có thể được coi như các thể hiện của biến ngẫu nhiên. Nếu đã biết phân bố xác suất đặc trưng cho các biến ngẫu nhiên này thì về nguyên tắc có thể xác định phân bố xác suất cho thước đo tổng hợp độ lệch trong 5.6.1. Khi đó, xác suất có thể được tính là , coi như được lấy từ phân bố tổng hợp này, vượt quá phân vị cụ thể bất kỳ của phân bố. Tuy nhiên, vì thông tin về các đại lượng này thường giới hạn ở bản thân các giá trị đo được và phương sai kèm theo (lấy là kỳ vọng và phương sai, tương ứng, của biến ngẫu nhiên đặc trưng bởi các phân bố này), nên không có đủ thông tin để xác định phân bố cho thước đo này. Thay vào đó, việc đánh giá hiệu lực được thực hiện với giả định rằng phân bố của các đại lượng là phân bố chuẩn. Với giả định này, duy trì từ giờ về sau, ít nhất là cho mục đích xác nhận giá trị sử dụng, phân bố cho thước đo này là  với n = m - 2 bậc tự do. Theo đó, xác suất mà  vượt quá phân vị cụ thể bất kỳ của  có thể được xác định (xem 6.3, 7.3, 9.3 và 10.3). Sử dụng phân vị 95 %.

CHÚ THÍCH 1: Nếu  vượt quá phân vị 95 % của  thì hàm hiệu chuẩn đường thẳng có thể được coi như không giải thích cho dữ liệu đủ tốt vì mục đích thực tế. Trong trường hợp này, dữ liệu và độ không đảm bảo kèm theo cần được kiểm tra về khả năng sai lỗi. Hàm hiệu chuẩn bao gồm đa thức của X có bậc 2 hoặc cao hơn hoặc một dạng toán học khác có thể được bàn đến; xem xét như vậy nằm ngoài phạm vi tiêu chuẩn này.

CHÚ THÍCH 2: Có khả năng mô hình 'quá tốt' ở chỗ giá trị quan trắc được  nhỏ hơn nhiều so với giá trị kỳ vọng. Khả năng này thường ứng với độ không đảm bảo kèm theo dữ liệu đo được trích ra quá lớn và sẽ không được xem xét thêm trong tiêu chuẩn này.

5.6.3  Để thu được càng nhiều giá trị càng tốt từ hàm hiệu chuẩn, mong muốn là độ không đảm bảo đầu vào cần được rút ra trước khi xác định tham số hàm hiệu chuẩn chứ không phải được đánh giá khi khớp với dữ liệu đã được xác định, với độ không đảm bảo kèm theo ước lượng từ dữ liệu hoặc biết theo hệ số thang đo. Trường hợp đề cập sau được xem xét trong Phụ lục E.

5.6.4  Nếu trong trường hợp cụ thể bất kỳ, việc xác nhận giá trị của mô hình không đạt, tức là  vượt quá phân vị 95 % của  (xem 5.6.2), thì độ không đảm bảo chuẩn u(a) và u(b), hiệp phương sai cov(a,b) tính được (xem 5.5.2) cần được coi là không đáng tin cậy, khi độ không đảm bảo gắn với giá trị dự đoán (xem 5.7).

5.7  Sử dụng hàm hiệu chuẩn

5.7.1  Hàm hiệu chuẩn thường được sử dụng cho việc dự đoán (đánh giá ngược) trong đó, dựa vào ước lượng của Y và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo, giá trị tương ứng của X được ước lượng và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo được đánh giá. Việc đánh giá độ không đảm bảo đề cập sau sử dụng độ không đảm bảo chuẩn gắn với các ước lượng a và b cũng như hiệp phương sai kèm theo của chúng. Xem 11.1.

5.7.2  Đôi khi cần có đánh giá tiếp trong đó giá trị tương ứng của Y thu được cùng với độ không đảm bảo chuẩn kèm theo, dựa vào ước lượng của X và độ không đảm bảo kèm theo, ví dụ, khi so sánh các hiệu chuẩn của một tập hợp các phương tiện đo tương tự nhau. Xem 11.2.

CHÚ THÍCH: Giả định rằng điều kiện đo duy trì trong quá trình hiệu chuẩn giữ nguyên ở thời điểm hàm hiệu chuẩn được sử dụng về sau. Nếu không, sẽ cần một hiệu chuẩn mới hoặc thực hiện việc điều chỉnh thích hợp để tính đến thay đổi bất kỳ như độ trôi có thể xảy ra (và độ không đảm bảo kèm theo bất kỳ cũng được xử lý). Biểu đồ kiểm soát có thể hữu ích cho mục đích này.

5.8  Xác định đường thẳng bình phương tối thiểu thông thường khớp nhất với dữ liệu

5.8.1  Đường thẳng bình phương tối thiểu thông thường (không trọng số) khớp nhất với dữ liệu được xác định bằng các giá trị a và b của tham số A và B tối thiểu hóa

Các giá trị này thỏa mãn công thức đã cho bằng cách cho đạo hàm riêng bậc một của biểu thức (2) đối với A và B bằng 0.

5.8.2  Có thể tính a và b theo các bước sau đây:

5.8.3  Giá trị x₀ và y₀ sao cho đường khớp nhất với các điểm dữ liệu chuyển đổi  đi qua gốc và có cùng độ dốc như với đường khớp nhất với các điểm dữ liệu gốc (x_i, y_i).

CHÚ THÍCH: Về mặt toán học, các tham số khớp nhất được xác định bằng cách giải cặp phương trình tuyến tính liên quan đến ma trận kích thước 2 x 2. Đối với các điểm dữ liệu chuyển đổi, ma trận này là đường chéo, cho phép dễ dàng xác định các tham số nghiêm. Chuyển đổi dữ liệu cũng có tác dụng hữu ích về độ chính xác số học của giải pháp tính toán [4, trang 33].

5.8.4  Các phương pháp mô tả trong Điều 6 đến Điều 10 dưới đây tạo thành phần mở rộng của các các tính toán trong 5.8.2 có tính đến thông tin về độ không đảm bảo quy định.

6  Mô hình dùng cho độ không đảm bảo gắn với yi

6.1  Khái quát

6.1.1  Điều này xem xét trường hợp 5.3.2 a), tức là khi thông tin dưới đây được cung cấp cho i = 1,..., m:

a) dữ liệu đo (x_i, y_i), và

b) độ không đảm bảo chuẩn u(y_i) gắn với y_i.

Phụ lục D cung cấp hướng dẫn về việc thu được các độ không đảm bảo này. Tất cả các độ không đảm bảo và hiệp phương sai khác gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể.

6.1.2  Trường hợp 5.3.2 a) tương ứng với mô tả bởi mô hình thống kê

trong đó e_i là thể hiện của các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 và phương sai u²(y_i) [9, trang 1]. A* và B* là các giá trị (chưa biết) của tham số hàm hiệu chuẩn cho hệ thống đo yêu cầu hiệu chuẩn và cung cấp dữ liệu đo. Mô hình này được gọi là mô hình hàm, không có độ không đảm bảo gắn với x_i.

6.1.3  Lấy w_i = 1/u(y_i), i = 1,..., m. Các ước lượng a và b là giá trị tối thiểu hóa tổng các bình phương có trọng số

đối với A và B. Vấn đề tối thiểu hóa này được gọi là vấn đề bình phương tối thiểu có trọng số (WLS). Các ước lượng này thỏa mãn công thức đã cho bằng cách gắn các đạo hàm riêng bậc một của biểu thức (4) đối với A và B bằng 0.

6.2  Các ước lượng tham số hiệu chuẩn, độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai kèm theo

6.2.1  Các ước lượng a và b được tính ở các bước từ 1 đến 5; độ không đảm bảo chuẩn u(a) và u(b) còn hiệp phương sai cov(a, b) được đánh giá ở bước 6:

CHÚ THÍCH 1: Các bước 1 đến 5 tương ứng với các bước:

CHÚ THÍCH 2: Các bước từ 1 đến 5 xác định phép tính bình phương tối thiểu cho hệ thống các công thức

w_ia + w_ix_ib = w_iy_i, i = 1,..., m.

CHÚ THÍCH 3: Nếu u(y_i) giống nhau, sao cho w_i giống nhau, thì a và b giống với giá trị cho bởi đường bình phương tối thiểu thông thường khớp nhất trong 5.8.2.

CHÚ THÍCH 4: u²(a), u²(b) và cov(a,b) trong bước 6 thu được bằng cách áp dụng định luật lan truyền độ không đảm bảo trong TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008) cho a và b như được cung cấp bởi bước 1 đến 5.

6.2.2  Các ước lượng a và b xác định trong 6.1.3 có các tính chất sau đây [15] đối với dữ liệu y_i theo mô hình (3):

i) Các ước lượng a và b được cho bởi tổ hợp tuyến tính các dữ liệu y_i.

ii) Các ước lượng a và b được coi là các thể hiện của biến ngẫu nhiên có kỳ vọng tương ứng là A* và B*.

iii) Ma trận hiệp phương sai đối với biến ngẫu nhiên trong ii) được quy định là u²(a), u²(b) và cov(a,b) tính được trong 6.2.1.

Tính chất i) nêu rõ a và b được rút ra bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng tuyến tính. Tính chất ii) nêu rõ rằng phương pháp ước lượng tuyến tính là không chệch. Tính chất ii) và iii) cùng cho thấy rằng phương pháp ước lượng là nhất quán theo nghĩa khi số lượng m điểm dữ liệu tăng lên, thì ước lượng a và b hội tụ A* và B*, tương ứng.

Phương pháp ước lượng của 6.1.3 có tính chất tối ưu sau đây đối với dữ liệu y_i theo mô hình (3):

iv) Các ước lượng  và  cung cấp bởi phương pháp ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ có thể được coi là các thể hiện của biến ngẫu nhiên có phương sai ít nhất là lớn bằng phương sai gắn với phương pháp ước lượng WLS.

Tính chất iv) có thể được giải thích như dưới đây. Đối với hằng số c và d, độ không đảm bảo chuẩn  gắn với tổ hợp tuyến tính các ước lượng  và  cung cấp bởi phương pháp ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ ít nhất là lớn bằng u(ca + db). Các tính chất từ i) đến iv) chứng tỏ việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu cho dữ liệu tương thích với mô hình (3). Lưu ý là khi sử dụng mô hình này, các tuyên bố chỉ được đưa ra về kỳ vọng và phương sai gắn với e_i; các phân bố kèm theo không được quy định thêm. Nếu đưa ra giả định bổ sung rằng e_i là thể hiện của biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn thì khi đó các tính chất khác gắn với phương pháp ước lượng WLS có thể đưa ra:

v) Các biến ngẫu nhiên trong ii) được đặc trưng bởi phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở A* và B* với ma trận hiệp phương sai quy định bởi u²(a), u²(b) và cov(a,b).

vi) Các ước lượng a và b là các ước lượng hợp lý lớn nhất, tương ứng với giá trị hợp lý nhất của A và B có thể làm tăng dữ liệu đo quan trắc được y_i.

vii) Trong bối cảnh suy luận Bayes, phân bố trong phạm vi kiến thức cho A và B, đã cho dữ liệu đo quan trắc y_i, là phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở a và b với ma trận hiệp phương sai xác định bởi u²(a) và u²(b) và cov(a,b).

6.3  Xác nhận giá trị sử dụng của mô hình

Nếu m > 2 thì giá trị sử dụng của mô hình có thể kiểm nghiệm một phần bằng cách sử dụng phần dư có trọng số r_i (tiếp theo 6.2.1):

7  Thiết lập r_i = w_i(y_i – a – bx_i), i = 1,..., m;

8  Thiết lập giá trị Khi-bình phương quan trắc  và bậc tự do n = m - 2;

9  Kiểm tra xem  có vượt quá phân vị 95 % của  không, và xem liệu có bác bỏ mô hình đường thẳng hay không.

CHÚ THÍCH: Kiểm nghiệm Khi-bình phương dựa trên giả định là e_i trong mô hình (3) là các thể hiện của biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập.

6.4  Tổ chức các tính toán

Các tính toán trong 6.2.1 và 6.3 có thể được tổ chức thành một hoặc hai bảng để thực hiện trong bảng tính như trong Bảng 2 và Bảng 3, có thể hợp nhất thành một bảng hoặc bảng tính.

Bảng 2 - Dữ liệu cho hàm hiệu chuẩn đường thẳng bằng bình phương tối thiểu có trọng số

Bảng 3 - Tổ chức tính toán để xác định hàm hiệu chuẩn đường thẳng bằng bình phương tối thiểu có trọng số

VÍ DỤ: (TRỌNG SỐ BẰNG NHAU) Bằng 4 đưa ra sáu điểm dữ liệu và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo. Giá trị đo được x_i được lấy là chính xác và độ không đảm bảo chuẩn gắn với giá trị đo được y_i là u(y_i) = 0,5. Do đó, trọng số được lấy là w_i = 1/u(y_i) = 2,0, i = 1...., 6.

Bảng 4- Dữ liệu thể hiện sáu điểm đo, trọng số bằng nhau

Tham số đường thẳng khớp nhất được tính như trong Bảng 5. Từ bảng này, g_o = 84,000/24,000 = 3,500, h₀ = 192,400/24,000 = 8,017, b = 123,000/70,000 = 1,757 và a = 8,017 - (1,757)(3,500) = 1,867.

Bảng 5 - Bảng tính toán gắn với dữ liệu trong Bảng 4

Độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai gắn với tham số được làm khớp cũng có thể được đánh giá, sử dụng công thức trong 6.2.1, từ thông tin trong Bảng 5:

u²(a) = 1/24,000 +(3,500)²/70,000, như vậy u(a) = 0,465;

u²(b) = 1/70,000, như vậy u(b) = 0,120;

u(a, b) = -3,500/70,000 = -0,050.

Giá trị Khi-bình phương quan trắc được là  = 1,665 với n = 4 bậc tự do, như tính được ở Bảng 5 sử dụng 6.3. Vì  không vượt quá phân vị 95 % của , tức là 9,488, nên không có lý do để nghi ngờ sự nhất quán của mô hình đường thẳng và dữ liệu.

Dữ liệu và hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp được trình bày trên Hình 2. Độ không đảm bảo chuẩn gắn với y_i được minh họa (và trong các hình tiếp sau) bằng đường thẳng đứng, tập trung vào y_i và có các cực trị y_i - u(y_i) và y_i + u(y_i). Phần dư có trọng số được trình bày trên Hình 3.

Hình 2 - Dữ liệu trong Bảng 4 và hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp thu được trong Bảng 5

Hình 3 - Phần dư có trọng số r_i thu được trong Bảng 5

VÍ DỤ: (TRỌNG SỐ KHÔNG BẰNG NHAU) Bảng 6 đưa ra sáu điểm dữ liệu và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo. Giá trị đo được x_i được lấy là chính xác. y_i thu được bằng cách sử dụng hai thiết lập phương tiện, sao cho giá trị X càng lớn thì y_i càng kém chính xác.

Bảng 6 - Dữ liệu thể hiện sáu điểm đo, trọng số không bằng nhau

Tham số đường thẳng khớp nhất được tính như trong Bảng 7. Từ bảng này, g₀ = 39,000/15,000 = 2,600, h₀ = 93,500/15,000 = 6,233, b = 65,000/31,600 = 2,057 và a = 6,233 - (2,057)(2,600) = 0,885.

Bảng 7 - Bảng tính toán gắn với dữ liệu trong Bảng 6

Độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai gắn với tham số được làm khớp cũng có thể được đánh giá, sử dụng công thức trong 6.2.1, từ thông tin trong Bảng 7:

u²(a) = 1/15,000 +(2,600)²/31,600, như vậy u(a) = 0,530;

u²(b) = 1/31,600, như vậy u(b) = 0,178;

u(a, b) = -2,600/31,600 = -0,082.

Giá trị Khi-bình phương quan trắc được là  = 4,131 với v = 4 bậc tự do, như tính được ở Bảng 7 sử dụng 6.3. Vì  không vượt quá phân vị 95 % của  tức là 9,488, nên không có lý do để nghi ngờ sự nhất quán của mô hình đường thẳng và dữ liệu.

Dữ liệu và hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp được trình bày trên Hình 4. Phần dư có trọng số được trình bày trên Hình 5.

Hình 4 - Dữ liệu trong Bảng 6 và hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp thu được trong Bảng 7

Hình 5 - Phần dư có trọng số r_i thu được trong Bảng 7

7  Mô hình độ không đảm bảo gắn với xi và yi

7.1  Khái quát

7.1.1  Điều này xem xét trường hợp 5.3.2 b), tức là khi thông tin dưới đây được cung cấp cho i = 1,…, m:

a) dữ liệu đo (x_i, y_i),

b) độ không đảm bảo chuẩn u(x_i) gắn với x_i, và

b) độ không đảm bảo chuẩn u(y_i) gắn với y_i.

Phụ lục D cung cấp hướng dẫn về việc thu được các độ không đảm bảo này. Tất cả các hiệp phương sai khác gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể.

7.1.2  Trường hợp 5.3.2 b) tương ứng với mô tả bởi mô hình thống kê

trong đó d_i và e_i là thể hiện của các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng 0 và phương sai tương ứng là u²(x_i) và u²(y_i). Mô hình này được gọi là mô hình hàm số. Trong mô hình, (x_i, y_i) đại diện cho tọa độ đo được của điểm (không quan trắc được)  nằm trên đường .

7.1.3  Vì x_i (cùng với y_i - xem Điều 6) có độ không đảm bảo kèm theo nên cũng phải tính đến chúng khi xác định hàm hiệu chuẩn đường thẳng. Vấn đề xác định a và b trong bối cảnh này là một trong hồi quy khoảng cách trực giao có trọng số (ODR có trọng số) hoặc hồi quy khoảng cách tổng quát hóa (GDR) [2]. Trong tài liệu thống kê nó được gọi là mô hình sai số-trong-biến [7], [9, trang 50], [17, trang 189], Các ước lượng a và b là ước lượng tối thiểu hóa tổng các bình phương

đối với A, B và X_i, i = 1,..., m, các trọng số n_i = 1/u(x_i) và w_i = 1/u(y_i). Mỗi ước lượng giải , cùng với a và b, xác định ước lượng , của  trong mô hình (5).

7.1.4  Cho trước A và B, các giá trị  tối thiểu hóa tổng các bình phương (6) đối với X_i được cho bởi

Sử dụng biểu thức (7) vấn đề tối ưu hóa có thể được đặt ra đối với tham số A và B độc lập bằng cách thay thế X_i trong biểu thức (6) bằng , có

7.1.5  Nếu

thì tổng các bình phương (8) tương đương với

Số hạng R_i có giải thích hình học dưới đây. Véc tơ vuông góc với đường thẳng Y = A + BX được cho bởi (-B,1)^T/(1 + B²)^1/2 và R_i là bội số trọng số của thành phần có dấu của  theo chiều của véc tơ vuông góc.

CHÚ THÍCH 1: Bình phương tối thiểu thông thường (xem 5.8) và bình phương tối thiểu có trọng số (xem Điều 6), khoảng cách tới đường thẳng được đo ‘theo chiều thẳng đứng’, tức là, theo chiều Y, phản ánh thực tế là độ lệch của điểm đo được (x_i, y_i) so với đường thẳng có thể được tính về số hạng sai số e_i kèm theo y_i, vì x_i được giả định là đã biết chính xác. ODR có trọng số giải quyết trường hợp trong đó còn có độ không đảm bảo gắn với x_i.

CHÚ THÍCH 2: Biểu thức (7) được cho bằng cách cho đạo hàm riêng bậc một của biểu thức (6) đối với A, B và X_i bằng 0.

CHÚ THÍCH 3: Nếu u_i(x_i) = 0 thì khi đó trong biểu thức (7)  (như vậy  và  . Kết quả là R_i trong biểu thức (9) được cho bởi R_i = w_i(y_i – A – Bx_i). Do đó, nếu u(x_i) = 0 thì số hạng R_i được đánh giá theo cách tương tự như trong biểu thức (4) ở 6.1.3.

CHÚ THÍCH 4: Nếu u(x_i) = u(y_i) = u_i thì khi đó  xác định điểm trên đường thẳng Y= A + BX gần nhất với (x_i, y_i) và

Vì véc tơ vuông góc với đường thẳng là (-B,1)^T/(1 + B²)^1/2, nên R_i là khoảng cách có trọng số tính từ điểm (x_i, y_i) tới đường thẳng Y= A + BX.

7.1.6  Điều 7.1.3 liên quan đến A, B và X_i, i = 1,..., m, như các biến trong tối thiểu hóa. Các tính toán nêu trong 7.2.1 thực hiện quá trình tối thiểu hóa này trong phép lặp hai giai đoạn [2]:

i) từ các gần đúng với a và b, xác định tối ưu  tương ứng, và

ii) đối với các  này, xác định các gần đúng mới với a và b sẽ làm giảm tổng các bình phương (6).

CHÚ THÍCH: Không có phân biệt nào về ký hiệu giữa  ở phép lặp điển hình và giá trị tính được cuối cùng.

7.2  Ước lượng tham số hiệu chuẩn và độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai kèm theo

7.2.1  Các ước lượng a và b được tính ở các bước từ 1 đến 6 dưới đây sử dụng quy trình lặp chỉ ra ở 7.1.6; độ không đảm bảo chuẩn u(a), u(b) và hiệp phương sai cov(a,b) được đánh giá ở bước 7 (xem Phụ lục B):

1  Thu được các xấp xỉ ban đầu  và  cho a và b, ví dụ, bằng cách xác định đường khớp nhất bình phương tối thiểu có trọng số với dữ liệu (xem 6.2.1 bước 1 đến 5), bỏ qua độ không đảm bảo gắn với ;

4  Xác định giải pháp bình phương tối thiểu (không có trọng số) δa và δb cho hệ thức

đó là

5  Cập nhật các xấp xỉ hiện tại cho các tham số và phần dư: , i = 1,..., m

6  Lặp lại các bước từ 2 đến 5 cho đến khi đạt được sự hội tụ. Đặt ;

;

trong đó g₀, h₀, ...là các giá trị tính được ở bước 4.

CHÚ THÍCH 1: Các tính toán ở bước 4 tương tự như các tính toán ở bước 1 đến 5 trong 6.2.1.

CHÚ THÍCH 2: Ở bước 2,  xác định điểm  trên xấp xỉ hiện tại với hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp nhất là gần nhất, như khoảng cách có trọng số, với điểm dữ liệu đo được (x_i, y_i).

CHÚ THÍCH 3: Ở bước 3, h_i tính được đại diện cho giá trị của khoảng cách tổng quát hóa R_i trong biểu thức (9) từ điểm dữ liệu thứ i đến ước lượng hiện tại của hàm hiệu chuẩn đường thẳng. Thuật toán được thiết kế để tối thiểu hóa tổng các bình phương của các khoảng cách này.

CHÚ THÍCH 4: Ở bước 4, các hiệu chỉnh δa và δb thường sẽ giảm độ lớn bằng hệ số hằng số gần đúng giữa các phép lặp. Mức độ giảm phụ thuộc chủ yếu vào độ không đảm bảo gắn với dữ liệu: độ không đảm bảo càng nhỏ thì mức giảm sẽ càng nhiều. Quy trình lặp có thể kết thúc khi độ lớn của các hiệu chỉnh được điều chỉnh đến mức không đáng kể.

CHÚ THÍCH 5: Phần dư tính được ở bước 5 được gắn với phép giải hệ thức tính ở bước 4. Tại điềm hội tụ, r_i tính được ở bước 5 bằng h_i tính được ở bước 3.

CHÚ THÍCH 6: Hoàn toàn chỉ yêu cầu các phần dư tính được ở bước 5 trong lần lặp cuối. Tuy nhiên, để dễ trình bày dạng bảng (Bảng 9 ở 7.4), phần dư được tính tại mỗi lần lặp.

CHÚ THÍCH 7: u²(a), u²(b) và cov(a,b) trong bước 7 thu được bằng cách áp dụng định luật lan truyền độ không đảm bảo trong TCVN 9595-3:2013 (ISO/IEC Guide 98-3:2008) cho a và b như được cung cấp bởi các bước 1 đến 6.

7.2.2  Trong khi có thể rút ra các tính chất trong 6.2.2 đối với phương pháp ước lượng WLS thì thực tế là các ước lượng a và b xác định bằng cách tối thiểu hóa tổng các bình phương (6) phụ thuộc phi tuyến vào dữ liệu x_i và y_i nghĩa là không thể dễ dàng nêu rõ các tính chất tương ứng đối với ODR có trọng số. Các ước lượng a và b xác định trong 7.1.3 có các tính chất sau đây đối với dữ liệu x_i và y_i theo mô hình (5):

i) Các ước lượng a và b được cho bởi hàm phi tuyến của các dữ liệu x_i và y_i.

ii) Các ước lượng a và b được coi là các thể hiện của biến ngẫu nhiên có kỳ vọng tương ứng là A* và B* gần đúng.

iii) Các thành phần của ma trận hiệp phương sai đối với biến ngẫu nhiên trong ii) xấp xỉ bằng u²(a), u²(b) và cov(a,b) tính được trong 7.2.1.

Các gần đúng trong ii) và iii) sẽ chính xác hơn đối với dữ liệu có độ không đảm bảo kèm theo nhỏ hơn. Tuy nhiên, phương pháp ước lượng có tính chất nhất quán sau đây:

iv) Đối với dữ liệu thỏa mãn mô hình (5), khi số lượng m điểm dữ liệu tăng, các ước lượng a và b hội tụ đến A* và B*, tương ứng [16].

Ngược lại, phương pháp ước lượng WLS thường sẽ ước lượng thấp độ lớn của tham số độ dốc [5] đối với dữ liệu tạo ra theo mô hình (5).

Nếu giả định bổ sung được đưa ra là d_i và e_i là các thể hiện của biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn thì các tính chất khác gắn với phương pháp ước lượng ODR có trọng số có thể được nêu ra:

v) Các biến ngẫu nhiên trong ii) được đặc trưng gần đúng bởi phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở A* và B* với ma trận hiệp phương sai quy định bởi u²(a), u²(b) và cov(a,b).

vi) Các ước lượng a và b là ước lượng hợp lý lớn nhất, tương ứng với giá trị hợp lý nhất của A và B có thể làm tăng dữ liệu đo quan trắc được x_i và y_i.

vii) Trong bối cảnh suy luận Bayes, phân bố trong phạm vi kiến thức cho A và B, đã cho dữ liệu đo quan trắc x_i và y_i, là xấp xỉ phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở a và b với ma trận hiệp phương sai xác định bởi u²(a), u²(b) và cov(a,b).

7.3  Xác nhận giá trị sử dụng của mô hình

Nếu m > 2 thì giá trị sử dụng của mô hình có thể kiểm nghiệm một phần bằng cách sử dụng phần dư r_i có trọng số tính được trong bước 5 ở 7.2.1 ở lần lặp cuối cùng, tức là sự hội tụ (tiếp tục từ 7.2.1):

8  Thiết lập giá trị Khi-bình phương quan trắc  và bậc tự do n = m - 2;

9  Kiểm tra xem  có vượt quá phân vị 95 % của  không, và xem liệu có bác bỏ mô hình đường thẳng hay không.

CHÚ THÍCH: Kiểm nghiệm Khi-bình phương dựa trên giả định là d_i và e_i trong mô hình (5) là các thể hiện của biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập và phép gần đúng bậc một.

7.4  Tổ chức tính toán

Các tính toán trong 7.2.1 và 7.3 có thể được tổ chức thành hai bảng liên tiếp, phù hợp để thực hiện trong bảng tính. Bảng thứ nhất (Bảng 8), đưa ra các xấp xỉ  và  (xem 7.2.1 bước 1), tính f_i, g_i và h_i (xem 7.2.1 bước 3). Bảng thứ hai (Bảng 9) sử dụng các giá trị f_i, g_i và h_i này để tính các hiệu chính δa và δb (xem 7.2.1 bước 4).

Bảng 8 - Tính toán để xác định hàm hiệu chuẩn đường thẳng, đã cho các xấp xỉ  và  với các ước lượng tham số đường thẳng a và b

Bảng 9 - Tổ chức tính toán để xác định các hiệu chính δa và δb cho hàm hiệu chuẩn đường thẳng GDR

VÍ DỤ: Bảng 10 đưa ra sáu điểm dữ liệu đo được và độ không đảm bảo chuẩn kèm theo.

Bảng 10 - Sáu điểm dữ liệu đo được và độ không đảm bảo chuẩn tương ứng

Để xác định các xấp xỉ  và  ban đầu (7.2.1 bước 1), hàm hiệu chuẩn đường thẳng bình phương tối thiểu có trọng số được xác định. Tiếp theo quy trình mô tả trong 6.2, thu được các dữ liệu cho trong Bảng 11 và Bảng 12.

Bảng 11 - Dữ liệu đại diện cho sáu điểm do

Bảng 12 - Bảng tính toán gắn với dữ liệu trong Bảng 11 để xác định các xấp xỉ  và  ban đầu

Các xấp xỉ ban đầu là  = 0,658 3 và  = 2,148 3. Với các xấp xỉ này, bảng dữ liệu đầu tiên (Bảng 13) có dạng trong Bảng 8 có thể được tính để thu được f_i, g_i và h_i. Bảng dữ liệu thứ hai (Bảng 14) có dạng trong Bảng 9 khi đó tính các số gia δa = -0,078 4 và δb = 0,011 1 (7.2.1 bước 4). Ở cuối phép lặp, các xấp xỉ  và  được cập nhật (7.2.1 bước 5):

Với các giá trị  và  cập nhật này, hai dữ liệu bảng mới được hình thành (Bảng 15 và Bảng 16) đề xác định thêm các hiệu chính δa = = -0,001 0 và δb = 0,000 2. Quá trình này được lặp lại lần thứ ba (Bảng 17 và Bảng 18). Trong trường hợp này, độ lớn của các hiệu chính nhỏ hơn 0,000 05, được điều chỉnh để thành không đáng kể cho mục đích này, và các xấp xỉ cuối cùng cho ước lượng tham số là a = 0,578 8 và b = 2,159 7.

Độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai (7.2.1 bước 7) gắn với tham số được làm khớp cũng có thể được đánh giá từ thông tin trong bảng cuối cùng (Bảng 18):

Giá trị Khi-bình phương quan trắc được là  = 2,743 với n = 4 bậc tự do, như tính được ở Bảng 18 sử dụng 7.3. Vì  không vượt quá phân vị 95 % của , tức là 9,488, nên không có lý do để nghi ngờ sự nhất quán của mô hình đường thẳng và dữ liệu.

Các điểm dữ liệu và hàm hiệu chuẩn đường thẳng ODR có trọng số được trình bày bằng đồ thị trên Hình 6. Đối với mỗi giá trị i, đồ thị cũng đưa ra vị trí của , điểm trên đường thẳng gần nhất về mặt xác suất với điểm dữ liệu (x_i,y_i). Phần dư có trọng số được minh họa trên Hình 7.

Bảng 13 - Lần lặp đầu tiên để xác định f_i, g_i và h_i, cho trước  và

Bảng 14 - Lần lặp đầu tiên để xác định các hiệu chính δa và δb, cho trước f_i, g_i và h_i

Bảng 15 - Như Bảng 13 nhưng cho lần lặp thứ hai

Bảng 16 - Như Bảng 14 nhưng cho lần lặp thứ hai

Bảng 17 - Như Bảng 13 nhưng cho lần lặp thứ ba

Bảng 18 - Như Bảng 14 nhưng cho lần lặp thứ ba

Hình 6 - Dữ liệu trong Bảng 10 và hàm hiệu chuẩn đường thẳng khớp thu được trong Bảng 11 đến 18

Hình 7 - Khoảng cách có trọng số thu được trong Bảng 18

8  Mô hình độ không đảm bảo gắn với xi và yi và hiệp phương sai gắn với cặp (xi, yi)

8.1  Khái quát

8.1.1  Điều này xem xét trường hợp 5.3.2 c), tức là khi thông tin sau đây được cung cấp cho i = 1,…, m:

a) dữ liệu đo (x_i, y_i),

b) độ không đảm bảo chuẩn u(x_i) gắn với x_i,

c) độ không đảm bảo chuẩn u(y_i) gắn với y_i, và

d) hiệp phương sai cov(x_i, y_i) gắn với x_i và y_i.

Phụ lục D cung cấp hướng dẫn về việc thu được các độ không đảm bảo và hiệp phương sai này. Tất cả các hiệp phương sai khác gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể.

8.1.2  Trường hợp 5.3.2 c) tương ứng với mô tả bởi mô hình thống kê

trong đó mỗi cặp (d_i,e_i) là thể hiện của các biến ngẫu nhiên hai chiều với kỳ vọng (0,0)^T và ma trận hiệp phương sai có thành phần đường chéo u²(x_i) và u²(y_i) và thành phần ngoài đường chéo cov (x_i, y_i) = cov(y_i,x_i), tức là

độc lập với các biến ngẫu nhiên khác.

CHÚ THÍCH: Giả định rằng (d_i,e_i) là các thể hiện của biến ngẫu nhiên chuẩn hai chiều chỉ cần thiết cho việc xác nhận giá trị sử dụng của mô hình (10).

8.2  Ước lượng tham số hiệu chuẩn và độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai kèm theo

8.2.1  Về thuật toán, trường hợp này có thể được xử lý bằng cách mở rộng (xem Phụ lục B) xử lý trong Điều 7. Các tính toán giống hệt như trong Điều 7, ngoại trừ bước 2 trong 7.2.1 được thay bằng

8.2.2  Tất cả các tính chất nêu trong 7.2.2 áp dụng cho dữ liệu được tạo ra theo mô hình (10) và tuân thủ theo phần còn lại của Điều 7.

9  Mô hình độ không đảm bảo và hiệp phương sai gắn với yi

9.1  Khái quát

9.1.1  Điều này xem xét trường hợp 5.3.2 d), tức là khi thông tin sau đây được cung cấp cho i = 1,..., m:

a) dữ liệu đo (x_i, y_i),

b) độ không đảm bảo chuẩn u(y_i) gắn với y_i, và

c) hiệp phương sai cov(y_i, y_j) gắn với cặp (y_i, y_j) j = 1,... , m, j ≠ i.

9.1.2  Độ không đảm bảo chuẩn bình phương và hiệp phương sai bao gồm ma trận hiệp phương sai

kích thước m x m gắn với y = (y_i,..., y_m)^T. Phụ lục D cung cấp hướng dẫn về việc thu được các độ không đảm bảo và hiệp phương sai này. Tất cả các độ không đảm bảo và hiệp phương sai khác gắn với dữ liệu được coi là không đáng kể.

9.1.3  Trường hợp 5.3.2 d) tương ứng với mô tả bởi mô hình thống kê

trong đó e = (e₁,..., e_m)^T là thể hiện của biến ngẫu nhiên đa biến với kỳ vọng véc tơ bằng véc tơ 0 có kích thước m x 1 và ma trận hiệp phương sai có kích thước m x m bằng U_y [21].

9.1.4  Các ước lượng a và b là giá trị tối thiểu hóa tổng các bình phương tổng quát [8]

trong đó e = y - A₁ - B_x, đối với A và B. Vấn đề xác định a và b trong bối cảnh này được gọi là một trong hồi quy Gauss-Markov (GMR) [2].

CHÚ THÍCH: Đối với trường hợp trong đó U_y là đường chéo, tổng bình phương tổng quát hóa (12) đơn giản thành biểu thức (4) trong 6.1.3 dẫn đến vấn đề WLS.

9.2  Ước lượng tham số hiệu chuẩn và độ không đảm bảo chuẩn và hiệp phương sai kèm theo

9.2.1  Nếu U_y hoàn toàn dương, thì tồn tại thừa số Cholesky L_y tam giác dưới kích thước m x m của U_y = L_yL_y^T [10] (xem thêm A.4), ước lượng a và b của A và B có thể được tính trực tiếp bằng cách sử dụng cùng một quy trình chung như trong 6.2.1 sau một số tính toán sơ bộ sử dụng thao tác ma trận-véc tơ. Nếu không có thể cần đến nhiều phương pháp số học hơn. Các thao tác này chuyển đổi tổng bình phương tổng quát hóa (12) thành tổng bình phương thông thường (2) như trong 5.8.1, tức là, vấn đề trở thành bình phương tối thiểu không trọng số và không có hiệp phương sai.

9.2.2  Ước lượng tham số a và b được tính ở các bước từ 1 đến 7 dưới đây; độ không đảm bảo chuẩn u(a) và u(b) và hiệp phương sai cov(a,b) được đánh giá trong bước 8:

1  Tính thừa số Cholesky L_y kích thước m x m của U_y = L_yL_y^T; xem A.4.1;

2  Lấy 1 là véc tơ của một có kích thước m x 1. Giải ba hệ thức tam giác dưới L_yf = 1, L_yg = x và L_yh = y, trong đó f = (f₁,..., f_m)^T,... đối với f, g và h; xem A.4.3;

9.2.3  Ước lượng a và b xác định trong 9.1.4 có các tính chất sau đây [15] đối với dữ liệu y_i theo mô hình (11):

i) Các ước lượng a và b được cho bởi tổ hợp tuyến tính các dữ liệu y_i.

ii) Các ước lượng a và b được coi là các thể hiện của biến ngẫu nhiên có kỳ vọng tương ứng là A* và B*.

iii) Ma trận hiệp phương sai đối với biến ngẫu nhiên trong ii) được quy định là u²(a), u²(b) và cov(a,b) tính được trong 9.2.2.

Tính chất i) nêu rõ a và b được rút ra bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng tuyến tính. Tính chất ii) nêu rõ rằng phương pháp ước lượng tuyến tính là không chệch. Tính chất ii) và iii) cùng cho thấy rằng phương pháp ước lượng là nhất quán theo nghĩa khi số lượng m điểm dữ liệu tăng lên, thì ước lượng a và b hội tụ A* và B*, tương ứng.

Phương pháp ước lượng của 9.1.4 có tính chất tối ưu sau đây đối với dữ liệu y_i theo mô hình (11):

iv) Các ước lượng  và  cung cấp bởi phương pháp ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ có thể được coi là các thể hiện của biến ngẫu nhiên có phương sai ít nhất là lớn bằng phương sai gắn với phương pháp ước lượng GMR.

Tính chất iv) có thể được giải thích như dưới đây. Đối với hằng số c và d, độ không đảm bảo chuẩn  gắn với tổ hợp tuyến tính các ước lượng  và  cung cấp bởi phương pháp ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ ít nhất là lớn bằng u(ca + db). Các tính chất từ i) đến iv) chứng tỏ việc sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu cho dữ liệu tương thích với mô hình (11). Lưu ý là khi sử dụng mô hình này, các tuyên bố chỉ được đưa ra về kỳ vọng và phương sai gắn với e_i; các phân bố kèm theo không được quy định thêm. Nếu đưa ra giả định bổ sung rằng e_i là thể hiện của biến ngẫu nhiên đặc trưng bởi phân bố chuẩn nhiều chiều thì khi đó các tính chất khác gắn với phương pháp ước lượng GMR có thể đưa ra:

v) Các biến ngẫu nhiên trong ii) được đặc trưng bởi phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở A* và B* với ma trận hiệp phương sai quy định bởi u²(a), u²(b) và cov(a,b).

vi) Các ước lượng a và b là ước lượng hợp lý lớn nhất, tương ứng với giá trị hợp lý nhất của A và B có thể làm tăng dữ liệu đo quan trắc được y_i.

vii) Trong bối cảnh suy luận Bayes, phân bố trong phạm vi kiến thức cho A và B, đã cho dữ liệu đo quan trắc y_i, là phân bố chuẩn hai chiều tập trung ở a và b với ma trận hiệp phương sai xác định bởi u²(a), u²(b) và cov(a,b).

CHÚ THÍCH 1: Các tính chất liệt kê ở trên giống với trong phương pháp ước lượng WLS của 6.1.3 đối với dữ liệu tạo ra theo mô hình (3).